📊Généralités sur les fonctions

Une fonction $f$ définie sur un ensemble $D$ associe à chaque nombre $x$ de $D$ un unique nombre, noté $f(x)$.

On écrit $f : x \mapsto f(x)$, qui se lit « $f$ qui à $x$ associe $f(x)$ ».

Le nombre $x$ est la variable ; l'ensemble $D$ est l'ensemble de définition, c'est-à-dire l'ensemble des $x$ pour lesquels le calcul de $f(x)$ est possible.

1. Repère l'expression de $f(x)$ (la « recette » de calcul).
2. Vérifie que la valeur de $x$ appartient à $D$.
3. À une même valeur de $x$ ne correspond qu'une seule image.

Soit $f(x) = 2x + 1$.

Pour $x = 3$ : $f(3) = 2 \times 3 + 1 = 7$.

À $x = 3$ correspond l'unique image $7$ : $f$ est bien une fonction.

Une fonction, c'est une machine : une entrée $x$ $\to$ une seule sortie $f(x)$. Deux sorties pour une même entrée, ce n'est pas une fonction.

Soit $f$ une fonction et $a$ un nombre de son ensemble de définition.

$\bullet$ Le nombre $f(a)$ s'appelle l'image de $a$ par $f$.

$\bullet$ Si $f(a) = k$, on dit que $a$ est un antécédent de $k$ par $f$.

Un nombre a toujours une seule image, mais un nombre $k$ peut avoir plusieurs antécédents, un seul, ou aucun.

Calculer une image (on connaît $x$) :

1. Remplace $x$ par sa valeur dans $f(x)$.
2. Effectue le calcul : le résultat est l'image.

Chercher un antécédent (on connaît $f(x)=k$) :

1. Pose l'équation $f(x) = k$.
2. Résous cette équation : les solutions sont les antécédents.

Soit $f(x) = x^2$.

Image de $3$ : $f(3) = 3^2 = 9$. Donc $9$ est l'image de $3$.

Antécédents de $9$ : on résout $x^2 = 9$, donc $x = 3$ ou $x = -3$. Le nombre $9$ a deux antécédents : $3$ et $-3$.

Pour ne pas confondre : l'image est ce qui sort de la machine ($f(x)$), l'antécédent est ce qu'on a fait entrer ($x$).

L'ensemble de définition $D$ d'une fonction est l'ensemble des valeurs de $x$ pour lesquelles $f(x)$ existe (le calcul est possible).

Deux interdits classiques au lycée : $\bullet$ on ne divise jamais par $0$ ; $\bullet$ on ne prend pas la racine carrée d'un nombre négatif.

⭐ Pour les curieux — pourquoi ça marche ? Ces deux interdits ne sont pas des caprices : ils viennent de la définition même des opérations. Diviser, c'est inverser une multiplication : $\dfrac{1}{0}$ devrait être le nombre $q$ tel que $0 \times q = 1$. Mais $0 \times q$ vaut toujours $0$, jamais $1$ : aucun nombre ne convient, la division par $0$ n'a donc aucun sens. Pour la racine, $\sqrt{x}$ devrait être un nombre dont le carré vaut $x$. Or un carré est toujours $\geq 0$ : $(+) \times (+) = (+)$, $(-) \times (-) = (+)$ et $0^2 = 0$. Aucun nombre réel ne peut donc avoir un carré négatif, et c'est pour ça que $\sqrt{-4}$ n'existe pas (au lycée).

1. Repère un éventuel dénominateur : il doit être $\neq 0$.
2. Repère une éventuelle racine carrée : son contenu doit être $\geq 0$.
3. Sinon, la fonction est définie sur $\mathbb{R}$ tout entier.

$f(x) = \dfrac{1}{x - 2}$ : on interdit $x - 2 = 0$, soit $x = 2$.

Donc $D = \mathbb{R} \setminus \{2\}$, c'est-à-dire tous les réels sauf $2$.

Avant tout calcul d'image, vérifie que $x$ appartient à $D$ : $f(2)$ pour $f(x)=\dfrac{1}{x-2}$ n'existe pas !

Dans un repère, la courbe représentative $\mathcal{C}_f$ de la fonction $f$ est l'ensemble des points de coordonnées $(x\,;\,f(x))$, pour $x$ parcourant l'ensemble de définition.

Un point $M(x\,;\,y)$ appartient à $\mathcal{C}_f$ si et seulement si $y = f(x)$ : son ordonnée est l'image de son abscisse.

Un point $A(a\,;\,b)$ est-il sur la courbe ?

1. Calcule $f(a)$.
2. Compare à $b$ : si $f(a) = b$, le point est sur $\mathcal{C}_f$, sinon il n'y est pas.

Soit $f(x) = x^2 - 1$. Le point $A(2\,;\,3)$ est-il sur $\mathcal{C}_f$ ?

$f(2) = 2^2 - 1 = 4 - 1 = 3$. Comme $f(2) = 3$, le point $A(2\,;\,3)$ appartient bien à la courbe.

Sur l'axe horizontal on lit les abscisses ($x$), sur l'axe vertical les ordonnées ($y = f(x)$). L'ordonnée d'un point de la courbe est toujours l'image de son abscisse.

Sur une courbe $\mathcal{C}_f$ :

$\bullet$ Lire une image $f(a)$ : on part de $a$ sur l'axe des abscisses, on monte (ou descend) jusqu'à la courbe, puis on lit l'ordonnée.

$\bullet$ Résoudre $f(x) = k$ : on trace la droite horizontale d'équation $y = k$ ; les abscisses des points d'intersection avec $\mathcal{C}_f$ sont les solutions (les antécédents de $k$).

Pour résoudre graphiquement $f(x) = k$ :

1. Trace la droite horizontale $y = k$.
2. Repère les points où elle coupe la courbe.
3. Lis l'abscisse de chacun de ces points : ce sont les solutions.

La parabole de $f(x) = x^2$ coupe la droite $y = 4$ en deux points d'abscisses $-2$ et $2$.

L'équation $f(x) = 4$ a donc deux solutions : $x = -2$ et $x = 2$. Vérification : $(-2)^2 = 4$ et $2^2 = 4$.

Image $\to$ on connaît $x$, on cherche $y$ (lecture verticale). Antécédent $\to$ on connaît $y = k$, on cherche $x$ (lecture horizontale avec la droite $y=k$).

Un tableau de valeurs donne, pour quelques valeurs de $x$, l'image correspondante $f(x)$. Il sert à placer rapidement des points $(x\,;\,f(x))$ pour tracer la courbe.

Chaque colonne fournit un point de la courbe.

1. Choisis plusieurs valeurs de $x$ dans l'ensemble de définition.
2. Calcule $f(x)$ pour chacune, une ligne à la fois.
3. Reporte les couples $(x\,;\,f(x))$ dans le repère.

Pour $f(x) = x^2$ :

On relève $f(-2)=4$, $f(-1)=1$, $f(0)=0$, $f(1)=1$, $f(2)=4$.

Avec une calculatrice, le menu TABLE construit ce tableau automatiquement à partir de l'expression de $f$ : pratique pour vérifier !