➡️Vecteurs du plan

Un vecteur modélise un déplacement. Le vecteur $\vec{AB}$ part du point $A$ (origine) et arrive au point $B$ (extrémité).

Un vecteur est caractérisé par trois données :

• sa direction : la droite $(AB)$ et toutes ses parallèles ;
• son sens : de $A$ vers $B$ (la flèche) ;
• sa norme (ou longueur), notée $\|\vec{AB}\|$ : c'est la distance $AB$.

Le vecteur nul $\vec{0} = \vec{AA}$ a une norme égale à $0$ : il n'a ni direction ni sens.

Pour décrire un vecteur $\vec{AB}$ :

1. Donne sa direction : celle de la droite $(AB)$.
2. Donne son sens : de l'origine $A$ vers l'extrémité $B$.
3. Donne sa norme : la longueur $AB$.

Si $A$ et $B$ sont distants de $5$ cm, alors $\|\vec{AB}\| = 5$ cm.

Attention : $\vec{AB}$ et $\vec{BA}$ ont la même direction et la même norme, mais des sens opposés.

⚠️ Ne confonds pas direction et sens ! La direction est une droite (horizontale, verticale...) ; le sens est une des deux façons de la parcourir (la pointe de la flèche).

Deux vecteurs sont égaux lorsqu'ils ont la même direction, le même sens ET la même norme.

Conséquence très utile : dire que $\vec{AB} = \vec{DC}$ revient à dire que $ABCD$ est un parallélogramme (les côtés $[AB]$ et $[DC]$ sont parallèles, de même longueur et orientés pareil).

Un même vecteur peut donc être dessiné à partir de n'importe quel point : on parle de représentants du vecteur.

⭐ Pour les curieux — pourquoi ça marche ? Pars de $A$, dépose la flèche $\vec{AB}$ ; puis pars de $D$ et dépose la même flèche : tu arrives en $C$. Comme les deux flèches ont même longueur, même direction et même sens, $[AB]$ et $[DC]$ sont deux côtés parallèles et de même longueur, ce qui est exactement la définition d'un parallélogramme. Et on comprend l'ordre des lettres : en parcourant $A \to B$ puis $D \to C$, on tourne dans le même sens autour de la figure, donc les sommets se rangent dans l'ordre $A$, $B$, $C$, $D$. Si on avait écrit $\vec{AB} = \vec{CD}$, la flèche partirait de $C$ pour arriver en $D$ : elle pointerait à l'envers, et $ABCD$ serait croisé, pas un parallélogramme.

Pour montrer que $ABDC$ est un parallélogramme avec des vecteurs :

1. Repère deux côtés que tu veux comparer.
2. Montre que les vecteurs associés sont égaux, par exemple $\vec{AB} = \vec{CD}$.
3. Conclus : les côtés sont parallèles et de même longueur.

$\vec{AB} = \vec{DC}$ signifie que $[AB]$ et $[DC]$ sont parallèles, de même longueur, et orientés dans le même sens.

Le quadrilatère $ABCD$ (dans cet ordre) est alors un parallélogramme.

Pour un parallélogramme $ABCD$, l'ordre des lettres compte : on a $\vec{AB} = \vec{DC}$ (et non $\vec{AB} = \vec{CD}$, qui serait le sens inverse).

Pour additionner deux vecteurs, on enchaîne les déplacements.

Relation de Chasles. Pour trois points quelconques $A$, $B$, $C$ :

$\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}$

On va de $A$ à $B$, puis de $B$ à $C$ : au total on est allé de $A$ à $C$. Le point intermédiaire $B$ « disparaît ».

Pour simplifier une somme de vecteurs :

1. Vérifie que l'extrémité d'un vecteur est l'origine du suivant.
2. Applique Chasles : le point du milieu s'élimine.
3. Recommence jusqu'à obtenir un seul vecteur.

$\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}$.

$\vec{MN} + \vec{NP} + \vec{PQ} = \vec{MQ}$ (les points $N$ et $P$ s'éliminent l'un après l'autre).

Une autre lecture de Chasles : $\vec{AC} - \vec{AB} = \vec{BC}$, car $\vec{BC} = \vec{BA} + \vec{AC} = -\vec{AB} + \vec{AC}$.

Multiplier un vecteur $\vec{u}$ par un nombre réel $k$ (un scalaire) donne un vecteur $k\,\vec{u}$ tel que :

• sa direction est la même que celle de $\vec{u}$ ;
• sa norme est $\|k\,\vec{u}\| = |k| \times \|\vec{u}\|$ ;
• son sens est celui de $\vec{u}$ si $k > 0$, et opposé si $k < 0$.

En particulier, $-\vec{u} = (-1)\,\vec{u}$ a la même longueur que $\vec{u}$ mais le sens contraire, et $0\,\vec{u} = \vec{0}$.

⭐ Pour les curieux — pourquoi ça marche ? Imagine que $\vec{u}$ mesure $3$ et que tu le mets bout à bout $4$ fois : tu obtiens une flèche $4$ fois plus longue, donc $\|4\vec{u}\| = 4 \times 3 = 12$ : multiplier le vecteur multiplie sa longueur d'autant. Mais une longueur ne peut jamais être négative ! Quand $k$ est négatif, le signe sert seulement à retourner la flèche (sens opposé), pas à changer sa taille : $-2\vec{u}$ pointe à l'envers mais mesure toujours $2 \times 3 = 6$. C'est pour ça qu'on garde uniquement la valeur absolue : $\|k\,\vec{u}\| = |k| \times \|\vec{u}\|$.

Pour construire $k\,\vec{u}$ :

1. Garde la même direction que $\vec{u}$.
2. Multiplie la longueur par $|k|$.
3. Choisis le sens : identique si $k>0$, opposé si $k<0$.

Si $\|\vec{u}\| = 3$, alors $\|2\vec{u}\| = 2 \times 3 = 6$ (même sens) et $\|-2\vec{u}\| = 2 \times 3 = 6$ aussi, mais le sens est opposé.

La norme utilise toujours $|k|$ (valeur absolue) : une longueur ne peut pas être négative. Le signe de $k$ ne sert qu'à fixer le sens.

Deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ (avec $\vec{u} \neq \vec{0}$) sont colinéaires s'il existe un nombre réel $k$ tel que :

$\vec{v} = k\,\vec{u}$

Cela veut dire qu'ils ont la même direction (sens identique si $k>0$, opposé si $k<0$).

Applications fondamentales :

• $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$ colinéaires $\iff$ les points $A$, $B$, $C$ sont alignés ;
• $\vec{AB}$ et $\vec{CD}$ colinéaires $\iff$ les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont parallèles.

⭐ Pour les curieux — pourquoi ça marche ? Les vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$ partent du même point $A$. Dire qu'ils sont colinéaires, c'est dire qu'ils ont la même direction : la flèche vers $C$ suit exactement la droite portée par la flèche vers $B$. Donc en partant de $A$ et en avançant dans cette unique direction, on rencontre à la fois $B$ et $C$ : les trois points sont sur la même droite, c'est-à-dire alignés. C'est le point de départ commun $A$ qui rend l'argument imparable : deux directions identiques issues du même point ne peuvent dessiner qu'une seule droite.

Pour prouver que $A$, $B$, $C$ sont alignés :

1. Forme les vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$.
2. Cherche un nombre $k$ tel que $\vec{AC} = k\,\vec{AB}$.
3. Si un tel $k$ existe, les points sont alignés.

Si $\vec{AC} = 3\,\vec{AB}$, alors $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$ sont colinéaires : les points $A$, $B$, $C$ sont alignés.

Le vecteur nul $\vec{0}$ est colinéaire à tous les vecteurs (on peut écrire $\vec{0} = 0 \times \vec{u}$).