🔍Agrandissement et réduction

Agrandir ou réduire une figure, c'est multiplier toutes ses longueurs par un même nombre $k > 0$, appelé coefficient.

• Si $k > 1$ : c'est un agrandissement (la figure devient plus grande).
• Si $k < 1$ : c'est une réduction (la figure devient plus petite).
• Si $k = 1$ : la figure ne change pas.

On calcule $k$ ainsi : $k = \dfrac{\text{longueur de l'image}}{\text{longueur de départ}}$

1. Choisis deux longueurs qui se correspondent (avant / après).
2. Divise la nouvelle longueur par l'ancienne : $k = \dfrac{nouvelle}{ancienne}$.
3. Compare à 1 : $>1$ agrandissement, $<1$ réduction.

Un segment de 4 cm devient 10 cm.

$k = \dfrac{10}{4} = 2{,}5$. C'est un agrandissement ($k > 1$).

Le coefficient se calcule toujours image ÷ original, et le même $k$ s'applique à toutes les longueurs de la figure.

Toutes les longueurs (côtés, périmètres, diagonales, rayons…) sont multipliées par $k$ :

$\text{nouvelle longueur} = k \times \text{ancienne longueur}$

Cela vaut aussi pour le périmètre, qui est une somme de longueurs.

1. Identifie le coefficient $k$.
2. Multiplie chaque longueur (ou le périmètre) par $k$.
3. Garde la même unité.

Un triangle de périmètre 12 cm est agrandi avec $k = 3$.

Nouveau périmètre $= 3 \times 12 = 36$ cm.

Pour les longueurs, c'est simple : on multiplie juste par $k$. Le piège arrive avec les aires et les volumes !

Quand les longueurs sont multipliées par $k$, les aires sont multipliées par $k^2$ :

$\text{nouvelle aire} = k^2 \times \text{ancienne aire}$

C'est logique : une aire fait intervenir deux longueurs (longueur × largeur), donc deux fois le facteur $k$.

⭐ Pour les curieux — pourquoi ça marche ? Recouvre ta figure d'un fin quadrillage de petits carrés de côté $c$ : son aire, c'est juste le nombre de carrés. Quand tu agrandis le tout par $k$, chaque petit carré de côté $c$ devient un carré de côté $k \times c$, donc d'aire $(k \times c)^2 = k^2 \times c^2$ : il devient $k^2$ fois plus grand. Comme le nombre de carrés ne change pas, l'aire totale est elle aussi multipliée par $k^2$. C'est pour ça qu'avec $k = 2$ on a $\times 4$ : il faut $4$ petits carreaux pour remplir un carreau deux fois plus large.

1. Trouve $k$.
2. Calcule $k^2 = k \times k$.
3. Multiplie l'aire de départ par $k^2$.

Un carré d'aire 5 cm² est agrandi avec $k = 2$.

Nouvelle aire $= k^2 \times 5 = 2^2 \times 5 = 4 \times 5 = 20$ cm².

Erreur très fréquente : multiplier l'aire par $k$ au lieu de $k^2$. Si $k = 2$, l'aire est multipliée par 4, pas par 2 !

Les volumes sont multipliés par $k^3$ :

$\text{nouveau volume} = k^3 \times \text{ancien volume}$

Un volume fait intervenir trois longueurs (L × ℓ × h), donc trois fois $k$.

⭐ Pour les curieux — pourquoi ça marche ? Imagine ton solide construit avec des petits cubes (comme des Lego) de côté $c$ : son volume, c'est le nombre de cubes. Après agrandissement par $k$, chaque petit cube de côté $c$ devient un cube de côté $k \times c$, de volume $(k \times c)^3 = k^3 \times c^3$ : $k^3$ fois plus gros. Le nombre de cubes ne bouge pas, donc le volume total est multiplié par $k^3$. Avec $k = 2$, il faut $8$ petits cubes pour remplir un cube deux fois plus large : d'où le $\times 8$.

1. Trouve $k$.
2. Calcule $k^3 = k \times k \times k$.
3. Multiplie le volume de départ par $k^3$.

Un cube de volume 7 cm³ est agrandi avec $k = 2$.

Nouveau volume $= k^3 \times 7 = 2^3 \times 7 = 8 \times 7 = 56$ cm³.

À retenir d'un coup d'œil : longueurs $\times k$, aires $\times k^2$, volumes $\times k^3$. L'exposant = le nombre de dimensions (1, 2, 3).

Quand on coupe un cône (ou une pyramide) par un plan parallèle à la base, le petit cône (ou petite pyramide) du haut est une réduction du grand.

Le coefficient de réduction est : $k = \dfrac{\text{petite hauteur}}{\text{grande hauteur}}$

Le petit volume vaut alors $k^3$ fois le grand volume.

1. Calcule $k = \dfrac{\text{hauteur du petit}}{\text{hauteur du grand}}$.
2. Pour le petit rayon : multiplie le grand rayon par $k$.
3. Pour le petit volume : multiplie le grand volume par $k^3$.

Un cône de hauteur 12 cm est coupé à 8 cm du sommet.

$k = \dfrac{8}{12} = \dfrac{2}{3}$. Le petit cône a un volume $\left(\dfrac{2}{3}\right)^3 = \dfrac{8}{27}$ du grand.

La section parallèle à la base d'un cône donne toujours une réduction : même forme, en plus petit, avec le coefficient $k$ des hauteurs.

L'agrandissement-réduction est une homothétie de rapport $k$ : on multiplie les distances à un point fixe (le centre) par $k$.

Le théorème de Thalès est l'outil qui justifie ces proportions : dans une configuration de Thalès, les longueurs des deux triangles sont proportionnelles, avec le même coefficient $k$ partout.

Conséquence : un agrandissement conserve les angles et la forme ; seules les dimensions changent.

1. Repère la configuration de Thalès (droites parallèles).
2. Écris l'égalité des rapports : $\dfrac{petit}{grand}$.
3. Ce rapport commun est le coefficient $k$.

Avec Thalès, si $\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{AN}{AC} = \dfrac{1}{2}$, alors le petit triangle $AMN$ est une réduction de coefficient $k = \dfrac{1}{2}$ du triangle $ABC$.

Un agrandissement-réduction garde la même forme et les mêmes angles : c'est pour ça qu'une photo agrandie n'est pas déformée.