📦Volumes et solides

Avant les volumes, il faut maîtriser les aires (en unités carrées).

• Carré de côté $c$ : $A = c^2$
• Rectangle de longueur $L$ et largeur $\ell$ : $A = L \times \ell$
• Triangle de base $b$ et hauteur $h$ : $A = \dfrac{b \times h}{2}$
• Disque de rayon $r$ : $A = \pi \times r^2$

On prendra $\pi \approx 3{,}14$ pour les calculs numériques.

1. Repère la figure et la formule correspondante.
2. Remplace les lettres par les valeurs (avec la même unité).
3. Calcule, et n'oublie pas l'unité au carré ($cm^2$, $m^2$…).

Aire d'un disque de rayon $r = 5$ cm.

$A = \pi \times r^2 = 3{,}14 \times 5^2 = 3{,}14 \times 25 = 78{,}5$ $cm^2$.

Attention : dans $\pi r^2$, c'est le rayon qui est au carré, pas $\pi$. Et le rayon = la moitié du diamètre !

Le pavé droit (boîte) a un volume :

$V = L \times \ell \times h$

où $L$ = longueur, $\ell$ = largeur, $h$ = hauteur.

Le cube est un pavé dont les trois dimensions sont égales (côté $a$) :

$V = a \times a \times a = a^3$

Le volume s'exprime en unités cubes ($cm^3$, $m^3$…).

1. Vérifie que les trois longueurs sont dans la même unité.
2. Multiplie longueur × largeur × hauteur.
3. Écris le résultat avec l'unité au cube.

Pavé de dimensions 4 cm, 3 cm et 2 cm.

$V = 4 \times 3 \times 2 = 24$ $cm^3$.

Pour un cube, ne calcule pas $3 \times a$ : c'est $a \times a \times a$. Exemple : cube de côté 2 → $2^3 = 8$ et non $6$.

Pour un cylindre ou un prisme droit, le volume est :

$V = \text{Aire de la base} \times h$

• Cylindre (base = disque de rayon $r$) : $V = \pi \times r^2 \times h$
• Prisme (base = polygone) : $V = A_{base} \times h$

$h$ est la hauteur du solide (distance entre les deux bases).

1. Calcule l'aire de la base.
2. Multiplie cette aire par la hauteur $h$.
3. N'oublie pas que pour le cylindre, l'aire de base est $\pi r^2$.

Cylindre de rayon $r = 2$ cm et hauteur $h = 10$ cm (avec $\pi \approx 3{,}14$).

$V = \pi \times r^2 \times h = 3{,}14 \times 2^2 \times 10 = 3{,}14 \times 4 \times 10 = 125{,}6$ $cm^3$.

Le cylindre, c'est « un disque qu'on empile sur la hauteur ». Donc on calcule d'abord l'aire du disque, puis on multiplie par $h$.

La pyramide et le cône ont la même formule :

$V = \dfrac{\text{Aire de la base} \times h}{3}$

• Cône (base = disque de rayon $r$) : $V = \dfrac{\pi \times r^2 \times h}{3}$
• Pyramide (base = polygone) : $V = \dfrac{A_{base} \times h}{3}$

Ici $h$ est la hauteur (du sommet jusqu'à la base, perpendiculairement).

⭐ Pour les curieux — pourquoi ça marche ? On peut découper un cube d'arête $a$ en exactement 3 pyramides superposables. On choisit un sommet $S$ du cube : les 3 faces qui ne touchent pas $S$ servent de bases (chacune d'aire $a^2$), et $S$ est le sommet commun des 3 pyramides ; leur hauteur est alors l'arête $a$. Ces 3 pyramides remplissent tout le cube sans trou ni chevauchement : chacune occupe donc $\dfrac{1}{3}$ du cube, soit $\dfrac{a^3}{3} = \dfrac{a^2 \times a}{3} = \dfrac{\text{base} \times \text{hauteur}}{3}$. Voilà d'où vient le fameux $\div 3$ : une pyramide tient pile 3 fois dans le « prisme » (ici le cube) de même base et même hauteur. (Le résultat reste vrai pour n'importe quelle pyramide ou cône, mais le justifier en général dépasse la 3e.)

1. Calcule l'aire de la base.
2. Multiplie par la hauteur $h$.
3. Divise par 3 (c'est l'étape qu'on oublie le plus !).

Cône de rayon $r = 3$ cm et hauteur $h = 4$ cm (avec $\pi \approx 3{,}14$).

$V = \dfrac{\pi \times r^2 \times h}{3} = \dfrac{3{,}14 \times 9 \times 4}{3} = \dfrac{113{,}04}{3} = 37{,}68$ $cm^3$.

Un cône (ou une pyramide) « tient » exactement 3 fois dans le cylindre (ou prisme) de même base et même hauteur. D'où le $\div 3$ !

Pour une boule de rayon $r$ :

$V = \dfrac{4}{3} \times \pi \times r^3$

L'aire de la sphère (sa surface) est :

$A = 4 \times \pi \times r^2$

Attention : $r^3$ pour le volume, $r^2$ pour la surface.

1. Pour le volume : calcule $r^3 = r \times r \times r$.
2. Multiplie par $\pi$ puis par $\dfrac{4}{3}$.
3. Pour la surface : $4 \times \pi \times r^2$.

Boule de rayon $r = 3$ cm (avec $\pi \approx 3{,}14$).

$V = \dfrac{4}{3} \times \pi \times r^3 = \dfrac{4}{3} \times 3{,}14 \times 27 = \dfrac{4}{3} \times 84{,}78 = 113{,}04$ $cm^3$.

Retiens : volume → r au cube (3 comme volume = 3 dimensions). Surface → r au carré (2 comme surface).

Pour passer d'une unité de volume à la suivante, on multiplie ou divise par 1000 (et non par 10 !) :

$1\ m^3 = 1000\ dm^3 \qquad 1\ dm^3 = 1000\ cm^3$

Lien avec les litres (à connaître par cœur) :

$1\ L = 1\ dm^3 \qquad 1\ mL = 1\ cm^3 \qquad 1\ m^3 = 1000\ L$

⭐ Pour les curieux — pourquoi ça marche ? Pourquoi $1\ dm^3 = 1000\ cm^3$ et pas $10$ ? Imagine un cube de $1$ dm de côté, c'est-à-dire $10$ cm de côté. Pour le remplir de petits cubes de $1\ cm^3$, il en faut $10$ en longueur, $10$ en largeur et $10$ en hauteur, soit $10 \times 10 \times 10 = 1000$ petits cubes. C'est exactement pour ça qu'on multiplie par $1000$ (et non par $10$) à chaque « marche » : un facteur $10$ pour chacune des 3 dimensions, d'où les 3 zéros.

1. Repère l'unité de départ et l'unité d'arrivée.
2. Pour chaque « marche » ($m^3 \to dm^3 \to cm^3$), multiplie par 1000 (en descendant).
3. En remontant, divise par 1000.

Convertir $2{,}5\ dm^3$ en $cm^3$, puis en litres.

$2{,}5\ dm^3 = 2{,}5 \times 1000 = 2500\ cm^3$.

Et comme $1\ dm^3 = 1\ L$ : $2{,}5\ dm^3 = 2{,}5\ L$.

Le piège classique : entre deux unités de volume on multiplie par 1000, pas par 10. Pense aux 3 zéros (un par dimension).