⚡Puissances

Pour un nombre $a$ et un entier $n$ positif :

$a^n = \underbrace{a \times a \times \dots \times a}_{n \text{ facteurs}}$

Cas particuliers : $a^1 = a$ et, pour $a \neq 0$, $a^0 = 1$.

⭐ Pour les curieux — pourquoi ça marche ? Pourquoi décide-t-on que $a^0 = 1$ ? Regarde la suite des puissances de $2$ en descendant : $2^3 = 8$, $2^2 = 4$, $2^1 = 2$. À chaque marche, on divise par $2$. Il est donc naturel de continuer : $2^0 = 2 \div 2 = 1$. C'est le seul choix qui garde la suite régulière, et il marche pour tout $a \neq 0$ (on ne peut pas diviser par $0$, et c'est exactement pour ça que $0^0$ est exclu).

1. L'exposant indique combien de fois on écrit le nombre dans la multiplication.
2. $a^2$ se lit « $a$ au carré », $a^3$ « $a$ au cube ».
3. Attention au signe : $(-2)^2 = 4$ mais $-2^2 = -4$ (le carré ne porte que sur le 2).

$2^5 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 32$

$1^n = 1$ toujours, et $0^n = 0$ pour $n \ge 1$. Mais $a^0 = 1$ pour tout $a \neq 0$.

Pour $a \neq 0$ :

$a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}$

Une puissance négative ne veut pas dire que le nombre est négatif : elle signifie qu'on prend l'inverse.

⭐ Pour les curieux — pourquoi ça marche ? Reprends la même échelle qui descend en divisant par $a$ à chaque marche. En partant de $a^0 = 1$ et en continuant : $a^{-1} = 1 \div a = \dfrac{1}{a}$, puis $a^{-2} = \dfrac{1}{a} \div a = \dfrac{1}{a^2}$. Chaque cran sous le $0$ ajoute donc un $a$ au dénominateur : voilà pourquoi $a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}$. L'exposant négatif n'est rien d'autre que « le même motif, mais en dessous de zéro ».

1. Écris la puissance positive correspondante : $a^n$.
2. Prends son inverse : $\dfrac{1}{a^n}$.
3. Calcule.

$3^{-2} = \dfrac{1}{3^2} = \dfrac{1}{9}$

$10^{-3} = \dfrac{1}{1000} = 0{,}001$ : trois chiffres après la virgule.

Avec un même nombre $a$ :

$a^m \times a^n = a^{m+n} \qquad \dfrac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \qquad (a^m)^n = a^{m \times n}$

Avec un même exposant $n$ :

$a^n \times b^n = (a \times b)^n$

⭐ Pour les curieux — pourquoi ça marche ? La règle $a^m \times a^n = a^{m+n}$ se voit en comptant les facteurs, sans rien apprendre par cœur. Par exemple $a^3 \times a^2 = (a \times a \times a) \times (a \times a)$ : en enlevant les parenthèses, on a tout simplement $a$ écrit $5$ fois d'affilée, soit $a^5$. Comme $5 = 3 + 2$, on additionne les exposants. Et on comprend du coup pourquoi ça ne marche pas pour $+$ : $a^3 + a^2$ ne colle pas $5$ facteurs bout à bout, ce sont deux paquets séparés qu'on ne peut pas fusionner.

1. Repère si c'est une même base ou un même exposant.
2. Multiplication, même base → on additionne les exposants.
3. Division, même base → on soustrait les exposants.
4. Puissance d'une puissance → on multiplie les exposants.

$10^3 \times 10^4 = 10^{3+4} = 10^7$

$(2^3)^2 = 2^{3 \times 2} = 2^6 = 64$

⚠️ Ces règles ne marchent que pour × et ÷, jamais pour l'addition : $a^m + a^n$ ne se simplifie pas.

$10^n$ = $1$ suivi de $n$ zéros. $10^{-n}$ = un petit nombre décimal.

Un nombre est en écriture scientifique quand il s'écrit $a \times 10^n \quad \text{avec} \quad 1 \le a < 10$ c'est-à-dire un seul chiffre non nul avant la virgule.

1. Place la virgule après le premier chiffre non nul : tu obtiens $a$.
2. Compte de combien de rangs la virgule a bougé : c'est l'exposant $n$.
3. Vers la gauche → exposant positif ; vers la droite → exposant négatif.

$38\,000 = 3{,}8 \times 10^4$

$0{,}00057 = 5{,}7 \times 10^{-4}$

Vérifie : l'exposant compte les déplacements de la virgule, pas le nombre de zéros écrits.

L'ordre de grandeur d'un nombre est la puissance de 10 la plus proche : il donne une idée rapide de la taille du nombre.

On arrondit l'écriture scientifique $a \times 10^n$ : si $a < 5$ on garde $10^n$, si $a \ge 5$ on prend $10^{n+1}$.

1. Mets le nombre en écriture scientifique $a \times 10^n$.
2. Regarde $a$ : proche de $1$ → ordre $10^n$ ; proche de $10$ → ordre $10^{n+1}$.
3. Garde uniquement la puissance de 10.

La distance Terre–Soleil est environ $1{,}5 \times 10^8$ km : son ordre de grandeur est $10^8$ km.

L'ordre de grandeur sert à vérifier un résultat : s'il est très loin, il y a une erreur.