🧮Calcul littéral

Réduire une expression, c'est l'écrire le plus simplement possible en regroupant les termes semblables (ceux qui ont la même partie littérale).

On additionne les nombres devant les $x$ entre eux, les nombres seuls entre eux.

1. Repère les termes en $x^2$, en $x$, et les constantes.
2. Additionne (ou soustrais) les coefficients de chaque groupe.
3. Écris le résultat dans l'ordre (souvent $x^2$, puis $x$, puis nombre).

$3x + 5 + 2x - 1 = (3x + 2x) + (5 - 1) = 5x + 4$

⚠️ On ne peut pas additionner $x$ et $x^2$ : ce ne sont pas des termes semblables !

Développer = transformer un produit en somme, en supprimant les parenthèses.

Simple distributivité : $k(a + b) = ka + kb$

Double distributivité : $(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd$

⭐ Pour les curieux — pourquoi ça marche ? Pense à une aire. Un rectangle de largeur $k$ et de longueur $a+b$ a pour aire $k(a+b)$. Mais si tu le coupes en deux à la marque $a$, tu vois deux rectangles : un de largeur $k$ et longueur $a$ (aire $ka$), l'autre de largeur $k$ et longueur $b$ (aire $kb$). Même surface, deux écritures : $k(a+b) = ka + kb$. La double distributivité, c'est pareil avec un rectangle de côtés $a+b$ et $c+d$ découpé en quatre cases $ac$, $ad$, $bc$, $bd$ : on multiplie bien chaque terme par chaque terme parce qu'on n'oublie aucune case.

1. Multiplie chaque terme de la première parenthèse par chaque terme de la seconde.
2. Attention aux signes (− × + = −, etc.).
3. Réduis en regroupant les termes semblables.

$3(x + 4) = 3x + 12$

$(x + 2)(x + 5) = x^2 + 5x + 2x + 10 = x^2 + 7x + 10$

Avec un signe − devant la parenthèse, tous les termes changent de signe : $-(x-3) = -x+3$.

À connaître par cœur et à savoir lire dans les deux sens :

$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ $(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$

⭐ Pour les curieux — pourquoi ça marche ? Dessine un carré de côté $a+b$ : son aire vaut $(a+b)^2$. Maintenant coupe-le par une ligne horizontale et une ligne verticale à la distance $a$ du coin : tu obtiens quatre morceaux, un carré $a \times a$ d'aire $a^2$, un carré $b \times b$ d'aire $b^2$, et deux rectangles $a \times b$ d'aire $ab$ chacun. En recollant : $a^2 + b^2 + 2ab$, exactement la formule ! On voit du coup que le $2ab$ n'est pas un détail : ce sont les deux rectangles, et c'est pour ça que $(a+b)^2 \neq a^2 + b^2$. Pour la troisième, $(a+b)(a-b)$ : pars d'un carré de côté $a$ (aire $a^2$) et enlève dans un coin un carré de côté $b$ (aire $b^2$) ; il reste une équerre en forme de L d'aire $a^2 - b^2$. Cette équerre se compose d'un rectangle $a \times (a-b)$ et d'un rectangle $b \times (a-b)$ ; pose le petit à côté du grand et tu obtiens un seul rectangle de côtés $a-b$ et $a+b$. Donc $a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$.

1. Identifie $a$ et $b$ dans l'expression.
2. Choisis la bonne identité selon le signe et la forme.
3. Remplace, puis calcule les carrés et le double produit.

$(x + 3)^2 = x^2 + 2 \times x \times 3 + 3^2 = x^2 + 6x + 9$

$(x - 5)(x + 5) = x^2 - 25$

⚠️ Erreur classique : $(a+b)^2 \neq a^2 + b^2$. N'oublie jamais le double produit $2ab$ !

Factoriser = transformer une somme en produit (l'inverse de développer).

1. Facteur commun : $ka + kb = k(a + b)$
2. Avec une identité remarquable, en repérant $a^2 - b^2$ ou un carré complet.

1. Cherche un facteur commun à tous les termes : mets-le devant la parenthèse.
2. Sinon, regarde si l'expression ressemble à $a^2 - b^2$ ou à un carré.
3. Vérifie en redéveloppant : tu dois retrouver le départ.

$5x + 5y = 5(x + y)$

$x^2 - 9 = x^2 - 3^2 = (x - 3)(x + 3)$

Factoriser est très utile pour résoudre une équation où un produit est nul.

Substituer, c'est remplacer la lettre par un nombre pour calculer la valeur de l'expression.

On remplace partout la lettre par le nombre (entre parenthèses si besoin), puis on calcule en respectant les priorités.

1. Remplace chaque $x$ par sa valeur (avec des parenthèses si elle est négative).
2. Calcule les puissances d'abord.
3. Puis les × et ÷, enfin les + et −.

Pour $A = 2x^2 - 3x + 1$ avec $x = 4$ :

$A = 2 \times 4^2 - 3 \times 4 + 1 = 2 \times 16 - 12 + 1 = 32 - 12 + 1 = 21$

Avec une valeur négative, attention : pour $x = -2$, $x^2 = (-2)^2 = 4$, pas $-4$.