⚖️Équations et inéquations

Une équation est une égalité contenant une inconnue (souvent $x$). La résoudre, c'est trouver toutes les valeurs de $x$ qui rendent l'égalité vraie.

Règle d'or : ce qu'on fait d'un côté du $=$, on le fait de l'autre.

1. Regroupe les termes en $x$ d'un côté, les nombres de l'autre (en changeant de signe).
2. Réduis chaque côté.
3. Divise les deux côtés par le coefficient de $x$.
4. Vérifie en remplaçant $x$ par la valeur trouvée.

$3x + 5 = 20$

$3x = 20 - 5$ (on retire 5 des deux côtés)

$3x = 15$

$x = \dfrac{15}{3} = 5$

Quand on fait « passer » un terme de l'autre côté du =, il change de signe.

Beaucoup de problèmes se résolvent en traduisant l'énoncé en équation : on choisit une inconnue, on écrit l'égalité, on résout, puis on répond à la question.

1. Choisis l'inconnue : « Soit $x$ le nombre cherché ».
2. Traduis les phrases en expressions mathématiques.
3. Écris l'équation et résous-la.
4. Reviens à la question et écris une phrase de conclusion.

« Le double d'un nombre augmenté de 7 vaut 19. »

Soit $x$ ce nombre : $2x + 7 = 19$, donc $2x = 12$, donc $x = 6$.

Le nombre cherché est 6.

« Le double de $x$ » = $2x$ ; « augmenté de 7 » = $+7$ ; « la moitié » = $\dfrac{x}{2}$.

Propriété clé : un produit de facteurs est nul si et seulement si au moins un des facteurs est nul.

$A \times B = 0 \iff A = 0 \ \text{ou} \ B = 0$

⭐ Pour les curieux — pourquoi ça marche ? Voici l'argument clé : si $A$ n'est pas nul, on peut diviser l'égalité $A \times B = 0$ par $A$, ce qui donne $B = \dfrac{0}{A} = 0$. Autrement dit, dès qu'un facteur n'est pas zéro, l'autre est forcé de valoir zéro : c'est impossible de fabriquer $0$ en multipliant deux nombres qui ne sont ni l'un ni l'autre nuls. Réciproquement, si $A = 0$ (ou $B = 0$), le produit est évidemment $0$, car multiplier par zéro donne toujours zéro. C'est pourquoi un produit est nul exactement quand l'un de ses facteurs est nul.

1. Assure-toi que l'équation est de la forme (…)×(…) = 0.
2. Écris : « le premier facteur = 0 ou le second facteur = 0 ».
3. Résous chacune des deux petites équations.
4. Donne toutes les solutions trouvées.

$(x - 2)(x + 7) = 0$

$x - 2 = 0$ ou $x + 7 = 0$

$x = 2$ ou $x = -7$

Deux solutions : $2$ et $-7$.

Si une équation contient $x^2$, essaie de factoriser pour te ramener à un produit nul.

Une inéquation est comme une équation, mais avec un signe d'inégalité ($<$, $>$, $\le$ ou $\ge$) à la place du $=$. Ses solutions sont tout un intervalle de nombres, pas une seule valeur.

On la résout presque comme une équation. ⚠️ Règle importante : si on multiplie ou divise les deux côtés par un nombre négatif, le sens de l'inégalité change.

⭐ Pour les curieux — pourquoi ça marche ? Multiplier par un nombre négatif, c'est faire un demi-tour sur la droite des nombres : tout ce qui était à droite passe à gauche. Regarde un exemple sûr : $2 < 5$ est vrai. Si je multiplie les deux côtés par $-1$, j'obtiens $-2$ et $-5$ ; or $-2$ est plus grand que $-5$ (il est moins « en dessous de zéro »), donc $-2 > -5$. Le $<$ est bien devenu $>$ : l'ordre s'est retourné comme dans un miroir. C'est pour ça qu'on inverse toujours le sens de l'inégalité quand on multiplie ou divise par un négatif.

1. Isole $x$ comme pour une équation.
2. Si tu divises par un nombre négatif, inverse le sens de l'inégalité.
3. Écris l'ensemble des solutions (ex : $x > 3$).

$2x + 1 \le 7$

$2x \le 6$

$x \le 3$

Toutes les valeurs de $x$ inférieures ou égales à $3$ conviennent.

$-2x < 6$ donne $x > -3$ : on a divisé par $-2$, donc le $<$ devient $>$.

On représente l'ensemble des solutions d'une inéquation sur une droite graduée :

• un crochet ouvert (ou cercle vide) si la valeur n'est pas comprise ($<$ ou $>$) ;
• un crochet fermé (ou point plein) si elle est comprise ($\le$ ou $\ge$) ;
• on hachure ou on colorie la partie qui contient les solutions.

1. Place la valeur limite sur la droite.
2. Mets un point plein ($\le$, $\ge$) ou vide ($<$, $>$).
3. Hachure du côté des solutions (à droite si $x >$…, à gauche si $x <$…).

Pour $x \le 3$ : point plein sur $3$, et on hachure vers la gauche (tous les nombres jusqu'à $3$ inclus).

Point plein = valeur incluse ; point vide = valeur exclue.