📐Proportionnalité et pourcentages

Deux grandeurs sont proportionnelles quand on passe de l'une à l'autre en multipliant toujours par le même nombre, appelé coefficient de proportionnalité.

Dans un tableau de proportionnalité, chaque valeur de la 2e ligne s'obtient en multipliant la valeur de la 1re ligne par ce coefficient $k$.

1. Choisis une colonne complète (les deux valeurs connues).
2. Calcule $k = \dfrac{\text{valeur du bas}}{\text{valeur du haut}}$.
3. Vérifie que $k$ donne bien les autres colonnes.
4. Multiplie par $k$ pour compléter le tableau.

Coefficient : $k = \dfrac{6}{2} = 3$.

Prix pour $8$ kg : $8 \times 3 = 24$ €.

Pour vérifier la proportionnalité : tous les rapports $\dfrac{\text{bas}}{\text{haut}}$ doivent être égaux.

Quand il manque une seule valeur dans un tableau de proportionnalité, on la trouve grâce au produit en croix.

Si le tableau est $\begin{array}{c|c} a & b \\ \hline c & x \end{array}$, alors $a \times x = b \times c$, donc $x = \dfrac{b \times c}{a}$.

⭐ Pour les curieux — pourquoi ça marche ? Dans un tableau de proportionnalité, on passe d'une ligne à l'autre en multipliant par le même coefficient $k$. Donc $c = a \times k$ et $x = b \times k$. Calculons les deux produits en diagonale : $a \times x = a \times (b \times k) = a \times b \times k$, et $b \times c = b \times (a \times k) = a \times b \times k$. Les deux donnent exactement le même résultat ! C'est pour ça que $a \times x = b \times c$ : ce n'est pas un tour de magie, c'est le coefficient caché $k$ qui se range des deux côtés.

1. Repère la valeur manquante $x$.
2. Multiplie les deux nombres situés en diagonale (sans $x$).
3. Divise ce produit par le dernier nombre connu.
4. Écris le résultat avec son unité.

$5$ stylos coûtent $4$ €. Combien coûtent $12$ stylos ?

$x = \dfrac{12 \times 4}{5} = \dfrac{48}{5} = 9{,}6$ €.

La 4e valeur trouvée s'appelle la quatrième proportionnelle. Place toujours les mêmes grandeurs sur la même ligne !

Prendre $t\,\%$ d'une quantité, c'est la multiplier par $\dfrac{t}{100}$.

$t\,\% \text{ de } N = \dfrac{t}{100} \times N$

1. Écris le pourcentage en fraction : $t\,\% = \dfrac{t}{100}$.
2. Multiplie par la quantité de départ.
3. Arrondis si besoin et ajoute l'unité.

$20\,\%$ de $150$ € : $\dfrac{20}{100} \times 150 = 0{,}20 \times 150 = 30$ €.

$10\,\%$ = diviser par $10$ ; $50\,\%$ = moitié ; $25\,\%$ = quart. Très pratique pour vérifier de tête !

Augmenter de $t\,\%$ revient à multiplier par $\left(1 + \dfrac{t}{100}\right)$.

Diminuer de $t\,\%$ revient à multiplier par $\left(1 - \dfrac{t}{100}\right)$.

Ce nombre s'appelle le coefficient multiplicateur.

⭐ Pour les curieux — pourquoi ça marche ? Augmenter de $t\,\%$, c'est garder la totalité de départ plus la part ajoutée. La totalité, c'est $1$ fois la valeur (soit $100\,\%$) ; la part ajoutée, c'est $\dfrac{t}{100}$ fois la valeur. En tout, on multiplie donc par $1 + \dfrac{t}{100}$. Par exemple pour $+15\,\%$ : on garde le prix entier ($\times 1$) et on ajoute $0{,}15$ fois ce prix, ce qui revient à multiplier d'un coup par $1{,}15$. Une baisse, c'est pareil mais on retire la part : $1 - \dfrac{t}{100}$.

1. Identifie si c'est une hausse ($+$) ou une baisse ($-$).
2. Calcule le coefficient : $1 \pm \dfrac{t}{100}$.
3. Multiplie la valeur de départ par ce coefficient.

Un article à $80$ € augmente de $15\,\%$.

Coefficient : $1 + \dfrac{15}{100} = 1{,}15$.

Nouveau prix : $80 \times 1{,}15 = 92$ €.

Pour une remise de $30\,\%$, le coefficient est $0{,}70$ : on paie directement $70\,\%$ du prix.

La vitesse moyenne est proportionnelle : $v = \dfrac{d}{t}$, $d = v \times t$ et $t = \dfrac{d}{v}$.

L'échelle d'un plan est le rapport $\dfrac{\text{distance sur le plan}}{\text{distance réelle}}$ (avec la même unité).

1. Pour une vitesse, vérifie que distance et temps ont des unités cohérentes (km et h pour des km/h).
2. Pour une échelle $\dfrac{1}{e}$, la distance réelle = distance sur plan $\times e$.
3. Convertis dans la même unité avant de calculer.

Une voiture parcourt $180$ km en $2$ h.

Vitesse : $v = \dfrac{180}{2} = 90$ km/h.

Échelle $\dfrac{1}{200}$ : $3$ cm sur le plan = $3 \times 200 = 600$ cm $= 6$ m en réalité.

Échelle $> 1$ : agrandissement. Échelle $< 1$ : réduction (cas le plus courant d'une carte).