📈Fonctions

Une fonction $f$ associe à chaque nombre $x$ un unique nombre noté $f(x)$.

• $f(x)$ est l'image de $x$ par la fonction $f$.
• $x$ est un antécédent de $f(x)$.

On lit $f(x)$ « $f$ de $x$ ».

1. Pour une image : remplace $x$ par sa valeur dans la formule, puis calcule.
2. Pour un antécédent : pose l'équation $f(x) =$ valeur, puis résous-la.

Soit $f(x) = 2x + 1$.

Image de $3$ : $f(3) = 2 \times 3 + 1 = 7$.

Antécédent de $11$ : $2x + 1 = 11 \Rightarrow 2x = 10 \Rightarrow x = 5$.

Une image est unique, mais un nombre peut avoir plusieurs antécédents (ou aucun).

Un tableau de valeurs range, sur deux lignes, des nombres $x$ et leurs images $f(x)$.

Il permet de lire rapidement des images et des antécédents.

1. Pour lire une image : cherche $x$ sur la 1re ligne, lis $f(x)$ en dessous.
2. Pour lire un antécédent : cherche la valeur sur la 2e ligne, lis $x$ au-dessus.

Image de $2$ : $f(2) = 7$. Antécédent de $10$ : $x = 3$.

Pour construire le tableau, choisis des valeurs de $x$ simples (0, 1, 2…) et calcule chaque image avec la formule.

La courbe d'une fonction est l'ensemble des points de coordonnées $(x ; f(x))$.

• Pour lire une image de $a$ : place-toi en $x = a$, monte (ou descends) jusqu'à la courbe, puis lis l'ordonnée.
• Pour lire un antécédent de $b$ : place-toi en $y = b$, va jusqu'à la courbe, puis lis l'abscisse.

1. Repère bien l'axe des abscisses ($x$) et celui des ordonnées ($y$).
2. Image : on part de l'axe horizontal.
3. Antécédent : on part de l'axe vertical.

Si le point $(2 ; 5)$ est sur la courbe de $f$, alors $f(2) = 5$ : l'image de $2$ est $5$, et $2$ est un antécédent de $5$.

Image → on lit verticalement vers la courbe. Antécédent → on lit horizontalement vers la courbe.

Une fonction linéaire s'écrit $f(x) = ax$, où $a$ est un nombre fixe.

Elle modélise une situation de proportionnalité : $a$ est le coefficient.

Sa représentation graphique est une droite passant par l'origine $O(0;0)$.

⭐ Pour les curieux — pourquoi ça marche ? Avance d'un pas vers la droite ($x$ augmente de $1$) : l'image gagne toujours exactement $a$, car $a(x+1) = ax + a$. Chaque pas vers la droite te fait donc monter (ou descendre) de la même hauteur $a$ : c'est un escalier aux marches toutes identiques, et des marches régulières s'alignent forcément sur une droite. Et comme $f(0) = a \times 0 = 0$, cette droite démarre pile à l'origine $O(0;0)$.

1. Pour trouver $a$ à partir d'un point $(x ; y)$ avec $x \neq 0$ : $a = \dfrac{y}{x}$.
2. La droite passe toujours par l'origine, donc $f(0) = 0$.

$f(x) = 3x$ : $f(4) = 3 \times 4 = 12$.

Le point $(4 ; 12)$ est sur la droite, ainsi que $(0 ; 0)$.

Si la courbe est une droite qui passe par l'origine, la fonction est linéaire.

Une fonction affine s'écrit $f(x) = ax + b$.

• $a$ est le coefficient directeur (la « pente »).
• $b$ est l'ordonnée à l'origine : $f(0) = b$.

Sa représentation est une droite (pas forcément par l'origine).

⭐ Pour les curieux — pourquoi ça marche ? Le coefficient $a$ répond à : « quand $x$ avance de $1$, de combien monte $y$ ? » En effet $a(x+1)+b = (ax+b) + a$, donc chaque pas de $1$ vers la droite ajoute toujours $a$. Plus généralement, si $x$ passe de $x_1$ à $x_2$, on calcule directement $y_2 - y_1 = (ax_2 + b) - (ax_1 + b) = a\,(x_2 - x_1)$ : la montée est proportionnelle à l'avancée horizontale, dans le rapport $a$. En divisant par $x_2 - x_1$ (avec $x_1 \neq x_2$) on retrouve $a = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$, la hauteur gagnée pour une avancée de $1$.

1. Pour calculer $a$ entre deux points $(x_1;y_1)$ et $(x_2;y_2)$ : $a = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$.
2. Pour trouver $b$ : remplace $a$, $x$ et $y$ d'un point connu dans $y = ax + b$.

Droite passant par $(1 ; 5)$ et $(3 ; 11)$ :

$a = \dfrac{11 - 5}{3 - 1} = \dfrac{6}{2} = 3$.

Avec $(1;5)$ : $5 = 3 \times 1 + b \Rightarrow b = 2$. Donc $f(x) = 3x + 2$.

Une fonction linéaire est une fonction affine particulière (celle où $b = 0$).