📊Statistiques

L'effectif d'une valeur est le nombre de fois où elle apparaît.

L'effectif total $N$ est la somme de tous les effectifs.

La fréquence d'une valeur est $f = \dfrac{\text{effectif}}{\text{effectif total}}$ (souvent exprimée en %).

⭐ Pour les curieux — pourquoi ça marche ? Imagine que tu distribues tout l'effectif $N$ en parts : la fréquence de chaque valeur, c'est son effectif divisé par $N$. Quand tu additionnes toutes les fréquences, tu fais $\dfrac{e_1}{N} + \dfrac{e_2}{N} + \dots$, c'est-à-dire $\dfrac{e_1 + e_2 + \dots}{N}$. Mais la somme de tous les effectifs $e_1 + e_2 + \dots$ vaut justement l'effectif total $N$ ! On obtient donc $\dfrac{N}{N} = 1$. Autrement dit : si tu réunis tous les morceaux du gâteau, tu retrouves forcément le gâteau entier, soit $100\,\%$.

1. Compte l'effectif de chaque valeur.
2. Additionne pour obtenir l'effectif total $N$.
3. Fréquence $= \dfrac{\text{effectif}}{N}$ ; multiplie par $100$ pour les %.

Sur $20$ élèves, $8$ font du foot.

Fréquence : $\dfrac{8}{20} = 0{,}4 = 40\,\%$.

La somme de toutes les fréquences vaut toujours $1$ (soit $100\,\%$).

La moyenne d'une série de valeurs est :

$\bar{x} = \dfrac{\text{somme des valeurs}}{\text{nombre de valeurs}}$

⭐ Pour les curieux — pourquoi ça marche ? Appelle $m$ la plus petite valeur et $M$ la plus grande. Comme chacune des $n$ valeurs est au moins égale à $m$, leur somme est au moins $n \times m$ ; en divisant par $n$, la moyenne est donc au moins $m$. De la même façon, chaque valeur est au plus $M$, donc la somme est au plus $n \times M$ et la moyenne au plus $M$. La moyenne est ainsi coincée entre $m$ et $M$. C'est logique : on ne peut pas être « en moyenne » plus petit que le plus petit, ni plus grand que le plus grand !

1. Additionne toutes les valeurs.
2. Divise par le nombre de valeurs.

Notes : $12, 8, 15, 9, 16$.

Moyenne : $\dfrac{12 + 8 + 15 + 9 + 16}{5} = \dfrac{60}{5} = 12$.

La moyenne est toujours comprise entre la plus petite et la plus grande valeur.

Quand des valeurs se répètent (ou ont un coefficient), on utilise la moyenne pondérée :

$\bar{x} = \dfrac{\text{somme des (valeur} \times \text{effectif)}}{\text{effectif total}}$

1. Multiplie chaque valeur par son effectif (ou coefficient).
2. Additionne tous ces produits.
3. Divise par la somme des effectifs (ou coefficients).

$\bar{x} = \dfrac{10 \times 3 + 12 \times 5 + 15 \times 2}{3 + 5 + 2} = \dfrac{30 + 60 + 30}{10} = \dfrac{120}{10} = 12$.

Ne divise jamais par le nombre de valeurs distinctes : divise par l'effectif total !

La médiane partage une série rangée dans l'ordre croissant en deux parties de même effectif : au moins la moitié des valeurs lui sont inférieures ou égales, au moins la moitié lui sont supérieures ou égales.

1. Range les valeurs dans l'ordre croissant.
2. Si l'effectif $N$ est impair : la médiane est la valeur du milieu (rang $\dfrac{N+1}{2}$).
3. Si $N$ est pair : la médiane est la moyenne des deux valeurs centrales.

Série $3, 5, 7, 8, 10$ ($N = 5$ impair) : médiane = $7$ (3e valeur).

Série $4, 6, 9, 11$ ($N = 4$ pair) : médiane $= \dfrac{6 + 9}{2} = 7{,}5$.

N'oublie pas de ranger la série avant de chercher la médiane !

Les quartiles partagent une série rangée en quatre parties.

• Le premier quartile $Q_1$ est la plus petite valeur de la série telle qu'au moins $25\,\%$ des valeurs lui sont inférieures ou égales.
• Le troisième quartile $Q_3$ est la plus petite valeur telle qu'au moins $75\,\%$ des valeurs lui sont inférieures ou égales.

1. Range la série dans l'ordre croissant ($N$ = effectif total).
2. Pour $Q_1$ : calcule $\dfrac{N}{4}$. Le rang de $Q_1$ est ce nombre s'il est entier, sinon l'entier immédiatement supérieur.
3. Pour $Q_3$ : calcule $\dfrac{3N}{4}$, puis applique la même règle de rang.
4. Lis les valeurs à ces rangs dans la série rangée.

Série rangée $4, 5, 7, 8, 10, 12, 15, 18$ ($N = 8$).

$\dfrac{N}{4} = 2$ (entier) $\Rightarrow$ $Q_1$ = 2e valeur $= 5$.

$\dfrac{3N}{4} = 6$ (entier) $\Rightarrow$ $Q_3$ = 6e valeur $= 12$.

Quand $\dfrac{N}{4}$ n'est pas entier, on arrondit le rang à l'entier supérieur (ex : $N = 11$, $\dfrac{N}{4} = 2{,}75 \to$ rang $3$).

L'étendue mesure la dispersion :

$\text{étendue} = \text{valeur maximale} - \text{valeur minimale}$

Un diagramme en barres ou un diagramme circulaire permet de lire rapidement les effectifs ou fréquences.

1. Repère la plus grande et la plus petite valeur.
2. Soustrais : max $-$ min.
3. Sur un diagramme, lis les hauteurs (barres) ou les angles (camembert).

Série $7, 12, 5, 20, 9$ : étendue $= 20 - 5 = 15$.

Dans un camembert, un secteur de $90°$ représente $\dfrac{90}{360} = 25\,\%$ de l'effectif.

Une grande étendue signifie des valeurs très dispersées ; une petite étendue, des valeurs proches.