🎲Probabilités

Une expérience aléatoire est une expérience dont on ne connaît pas le résultat à l'avance (lancer un dé, tirer une carte…).

• Une issue est un résultat possible.
• Un événement est un ensemble d'issues (ex : « obtenir un nombre pair »).

1. Liste toutes les issues possibles.
2. Identifie quelles issues réalisent l'événement étudié.

Lancer d'un dé à 6 faces : issues $= \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$.

Événement « nombre pair » $= \{2, 4, 6\}$.

Un événement certain se réalise toujours ($p=1$) ; un événement impossible ne se réalise jamais ($p=0$).

La probabilité d'un événement est un nombre compris entre $0$ et $1$ qui mesure sa chance de se réaliser.

$0 \leq p \leq 1$

Plus $p$ est proche de $1$, plus l'événement est probable.

⭐ Pour les curieux — pourquoi ça marche ? Pourquoi une probabilité ne peut-elle jamais dépasser $1$ ni être négative ? Imagine que tu comptes les issues qui réalisent ton événement (les cas favorables) parmi toutes les issues possibles. Les favorables font forcément partie du total : on ne peut pas en avoir moins que $0$, ni plus que le total lui-même. Donc la fraction $\dfrac{\text{favorables}}{\text{possibles}}$ est coincée entre $\dfrac{0}{\text{possibles}} = 0$ et $\dfrac{\text{possibles}}{\text{possibles}} = 1$. Une chance « sur deux » ne peut pas se transformer en « trois chances sur deux » : ça n'a aucun sens !

1. Une probabilité ne peut jamais être négative ni dépasser $1$.
2. On peut l'écrire en fraction, en décimal ou en %.

Une probabilité de $0{,}5$ signifie « une chance sur deux » ($50\,\%$).

Une probabilité de $\dfrac{1}{4}$ vaut $0{,}25$, soit $25\,\%$.

Si tu trouves une probabilité plus grande que $1$, tu t'es trompé dans le calcul !

Il y a équiprobabilité quand toutes les issues ont la même chance de se produire (dé équilibré, pièce non truquée…).

Alors :

$p(\text{événement}) = \dfrac{\text{nombre de cas favorables}}{\text{nombre de cas possibles}}$

1. Compte le nombre de cas favorables (qui réalisent l'événement).
2. Compte le nombre de cas possibles (toutes les issues).
3. Fais le quotient et simplifie la fraction.

Dé à 6 faces, événement « obtenir un nombre pair » :

favorables $= 3$ ($2,4,6$), possibles $= 6$.

$p = \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2}$.

Pense à simplifier la fraction pour donner la réponse la plus simple.

L'événement contraire de $A$, noté $\bar{A}$, se réalise exactement quand $A$ ne se réalise pas.

$p(\bar{A}) = 1 - p(A)$

⭐ Pour les curieux — pourquoi ça marche ? À chaque essai, soit $A$ se réalise, soit son contraire $\bar{A}$ se réalise : il n'y a pas de troisième possibilité, et les deux ne peuvent pas arriver en même temps. Ensemble, $A$ et $\bar{A}$ couvrent donc toutes les issues, c'est-à-dire la certitude, dont la probabilité vaut $1$. Leurs chances s'additionnent pour faire le tout : $p(A) + p(\bar{A}) = 1$. Il suffit de basculer $p(A)$ de l'autre côté pour obtenir $p(\bar{A}) = 1 - p(A)$.

1. Calcule (ou repère) $p(A)$.
2. La probabilité du contraire est $1 - p(A)$.

Si $p(\text{tirer un as}) = \dfrac{1}{8}$, alors $p(\text{ne pas tirer d'as}) = 1 - \dfrac{1}{8} = \dfrac{7}{8}$.

Astuce de calcul : pour « au moins un… », il est souvent plus rapide de passer par l'événement contraire.

Quand une expérience se fait en deux étapes (deux lancers, deux tirages…), on représente toutes les possibilités avec un arbre.

Le nombre total d'issues = (nombre d'issues de la 1re épreuve) $\times$ (nombre d'issues de la 2e épreuve).

⭐ Pour les curieux — pourquoi ça marche ? Pourquoi multiplie-t-on les nombres d'issues au lieu de les additionner ? Range toutes les issues dans un tableau : une ligne pour chaque résultat de la 1re épreuve, une colonne pour chaque résultat de la 2e. Chaque case du tableau est une issue complète, et il y a exactement (nombre de lignes) $\times$ (nombre de colonnes) cases. Avec deux dés, ça donne une grille $6 \times 6$, soit $36$ cases : tu peux les dessiner et les compter une à une, le résultat est toujours $36$.

1. Dessine les branches de la 1re épreuve.
2. À partir de chaque branche, dessine celles de la 2e épreuve.
3. Chaque chemin complet correspond à une issue.
4. Compte les chemins favorables sur le total des chemins.

On lance deux fois une pièce (P ou F).

Issues : PP, PF, FP, FF $\to$ $4$ issues au total.

$p(\text{deux Faces}) = \dfrac{1}{4}$.

Deux dés à 6 faces donnent $6 \times 6 = 36$ issues équiprobables : très utile pour les sommes !