📐Théorème de Pythagore

Dans un triangle rectangle, l'angle droit est marqué par un petit carré.

L'hypoténuse est le côté opposé à l'angle droit : c'est toujours le côté le plus long du triangle.

Dans un triangle $ABC$ rectangle en $A$, l'angle droit est en $A$, donc l'hypoténuse est le côté $[BC]$ (celui qui ne touche pas $A$).

⭐ Pour les curieux — pourquoi ça marche ? Dans un triangle, le plus grand côté est toujours en face du plus grand angle. Or les trois angles d'un triangle font $180°$ : ici l'angle droit en vaut déjà $90°$, donc il ne reste que $90°$ à partager entre les deux autres, qui sont alors chacun plus petits que $90°$. L'angle droit est donc le plus grand des trois, et le côté qui lui fait face, l'hypoténuse, est forcément le plus long.

Pour repérer l'hypoténuse :

1. Trouve le sommet où se trouve l'angle droit (le petit carré).
2. L'hypoténuse est le côté qui ne passe pas par ce sommet.
3. Vérifie : c'est bien le plus long des trois côtés.

Triangle $DEF$ rectangle en $E$.

L'angle droit est en $E$ ; l'hypoténuse est donc $[DF]$.

⚠️ Piège fréquent : on confond l'hypoténuse avec le côté "horizontal". Non ! L'hypoténuse dépend uniquement de la position de l'angle droit.

Théorème de Pythagore. Si un triangle $ABC$ est rectangle en $A$, alors :

$BC^2 = AB^2 + AC^2$

Autrement dit : le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés.

⭐ Pour les curieux — pourquoi ça marche ? Prends un grand carré de côté $a+b$ et pose dans ses quatre coins quatre exemplaires de ton triangle rectangle (côtés $a$, $b$, hypoténuse $c$). Au centre, le trou qui reste est un carré de côté $c$, donc son aire est $c^2$. Mais on peut réarranger les quatre mêmes triangles dans le grand carré pour libérer cette fois deux trous carrés, d'aires $a^2$ et $b^2$. Le grand carré et les quatre triangles n'ont pas changé : le vide aussi est le même, donc $c^2 = a^2 + b^2$.

Pour calculer l'hypoténuse (le grand côté) :

1. Écris l'égalité de Pythagore : $BC^2 = AB^2 + AC^2$.
2. Remplace les longueurs connues et calcule les carrés.
3. Additionne pour trouver $BC^2$.
4. Prends la racine carrée : $BC = \sqrt{BC^2}$.

$ABC$ rectangle en $A$ avec $AB = 3$ cm et $AC = 4$ cm.

$BC^2 = AB^2 + AC^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$

$BC = \sqrt{25} = 5$ cm.

Le triplet 3 - 4 - 5 revient tout le temps ! Comme $3^2 + 4^2 = 5^2$, dès que tu vois 3 et 4, pense à 5.

Si on connaît l'hypoténuse et l'un des deux petits côtés, on cherche le côté manquant en soustrayant au lieu d'additionner.

De $BC^2 = AB^2 + AC^2$, on tire $AB^2 = BC^2 - AC^2$.

1. Écris Pythagore : $BC^2 = AB^2 + AC^2$.
2. Isole le côté cherché : $AB^2 = BC^2 - AC^2$ (grand carré moins petit carré).
3. Calcule la différence.
4. Prends la racine carrée.

$ABC$ rectangle en $A$, hypoténuse $BC = 13$ cm et $AC = 5$ cm. On cherche $AB$.

$AB^2 = BC^2 - AC^2 = 13^2 - 5^2 = 169 - 25 = 144$

$AB = \sqrt{144} = 12$ cm.

⚠️ Pour un petit côté on soustrait ($BC^2 - AC^2$), jamais l'inverse. Si tu trouves un carré négatif, c'est que tu as inversé : recommence !

La réciproque sert à démontrer qu'un triangle est rectangle.

Réciproque de Pythagore. Dans un triangle, si le carré du plus grand côté est égal à la somme des carrés des deux autres côtés, alors le triangle est rectangle, et l'angle droit est opposé au plus grand côté.

1. Repère le plus grand côté (futur hypoténuse).
2. Calcule séparément $d_1 = (\text{grand côté})^2$.
3. Calcule $d_2 = (\text{somme des carrés des deux autres côtés})$.
4. Compare $d_1$ et $d_2$ :
   • égaux → le triangle est rectangle ;
   • différents → il ne l'est pas.

Triangle de côtés $6$, $8$ et $10$. Plus grand côté : $10$.

$10^2 = 100$ et $6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$.

Égalité vérifiée → le triangle est rectangle, l'angle droit est opposé au côté $10$.

Calcule toujours les deux membres séparément, puis conclus. Ne mélange jamais les deux calculs dans une seule ligne.

Si le carré du plus grand côté n'est pas égal à la somme des carrés des deux autres, alors le triangle n'est pas rectangle.

C'est exactement le même calcul que la réciproque : la conclusion change seulement parce que l'égalité est fausse.

1. Calcule $(\text{plus grand côté})^2$ d'un côté.
2. Calcule la somme des carrés des deux autres de l'autre côté.
3. Si les deux résultats sont différents → conclus : pas rectangle.

Triangle de côtés $4$, $5$ et $7$. Plus grand côté : $7$.

$7^2 = 49$ et $4^2 + 5^2 = 16 + 25 = 41$.

$49 \neq 41$ → le triangle n'est pas rectangle.

Réciproque et contraposée, c'est le même calcul ! Seul le résultat de la comparaison (égal ou non) décide de la conclusion.

Un triplet pythagoricien est un trio d'entiers qui vérifie Pythagore. À connaître par cœur :

• $3 - 4 - 5$
• $5 - 12 - 13$
• $6 - 8 - 10$ (le double de $3-4-5$)
• $8 - 15 - 17$

Quand le résultat n'est pas un carré parfait, on garde la valeur exacte sous forme de racine, par exemple $\sqrt{2}$ ou $\sqrt{20} = 2\sqrt{5}$.

⭐ Pour les curieux — pourquoi ça marche ? Si $a^2 + b^2 = c^2$ et qu'on multiplie chaque côté par un même nombre $k$, alors $(ka)^2 + (kb)^2 = k^2a^2 + k^2b^2 = k^2(a^2 + b^2) = k^2 c^2 = (kc)^2$. L'égalité de Pythagore est donc encore vraie : c'est pourquoi $3{-}4{-}5$ donne aussi $6{-}8{-}10$ ou $9{-}12{-}15$. Géométriquement, on a juste fait un agrandissement du triangle, qui reste rectangle.

Pour une valeur exacte :

1. Applique Pythagore et trouve le carré (par exemple $AB^2 = 2$).
2. Si $2$ n'est pas un carré parfait, la longueur est $AB = \sqrt{2}$.
3. Tu peux donner une valeur approchée à la calculatrice si on le demande.

Carré de côté $1$ : sa diagonale $d$ vérifie $d^2 = 1^2 + 1^2 = 2$.

Donc $d = \sqrt{2} \approx 1{,}41$. C'est une valeur exacte : $\sqrt{2}$.

Multiplier tous les côtés d'un triplet par un même nombre donne un nouveau triplet : $3-4-5$ devient $9-12-15$ (tout $\times 3$).