📏Théorème de Thalès

Le théorème de Thalès s'utilise quand deux droites parallèles coupent deux droites sécantes (qui se croisent en un point).

On rencontre deux figures :

• la configuration « triangles emboîtés » : un petit triangle dans un grand ;
• la configuration « papillon » (ou nœud-papillon) : les deux triangles sont de part et d'autre du point d'intersection.

Pour vérifier qu'on peut utiliser Thalès :

1. Repère le point d'intersection des deux droites sécantes (appelons-le $A$).
2. Vérifie qu'il y a bien deux droites parallèles.
3. Identifie les points alignés sur chaque sécante.

Droites $(BC)$ et $(MN)$ parallèles. $A$ est le point où se croisent $(BM)$ et $(CN)$. On est dans une configuration de Thalès.

Pas de parallèles → pas de Thalès ! Le parallélisme est la condition indispensable du théorème direct.

Théorème de Thalès. Soit $A$ le point d'intersection des droites $(BM)$ et $(CN)$. Si $(BC)$ et $(MN)$ sont parallèles, alors :

$\frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC} = \frac{MN}{BC}$

Les trois rapports sont égaux : on a des longueurs proportionnelles.

⭐ Pour les curieux — comment se le représenter ? Le petit triangle $AMN$ ressemble au grand triangle $ABC$ passé à la photocopieuse en mode réduction, centré sur $A$. C'est justement parce que $(MN)$ est parallèle à $(BC)$ que la figure se comporte comme un agrandissement-réduction de centre $A$ : tout est étiré (ou rétréci) à partir de $A$ d'un même facteur d'échelle $k$. Si par exemple $M$ est au tiers de $[AB]$, alors $k=\frac{1}{3}$, et ce même facteur s'applique partout : $\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}=\frac{MN}{BC}=k$. Les trois fractions sont égales parce qu'elles mesurent toutes la même chose — l'unique rapport de réduction de la figure — et pas par hasard. (En 3e, on admet ce résultat : cette image de l'agrandissement aide à le comprendre, mais ce n'est pas une démonstration complète.)

1. Écris la triple égalité des rapports en respectant l'ordre des points.
2. Garde deux fractions : celle complète (connue) et celle avec l'inconnue.
3. Remplace par les valeurs connues.
4. Calcule l'inconnue par le produit en croix.

$(MN)\parallel(BC)$, $AM=2$, $AB=6$, $BC=9$. On cherche $MN$.

$\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{MN}{BC}$ donne $\dfrac{2}{6} = \dfrac{MN}{9}$.

Produit en croix : $MN = \dfrac{2 \times 9}{6} = \dfrac{18}{6} = 3$ cm.

Respecte l'ordre des lettres : au numérateur les petits segments (côté $A$), au dénominateur les grands. Sinon le résultat est faux.

Pour résoudre $\dfrac{a}{b} = \dfrac{x}{d}$, on utilise le produit en croix : $a \times d = b \times x$, donc $x = \dfrac{a \times d}{b}$.

C'est l'outil de calcul de toute égalité de deux fractions.

1. Place l'inconnue $x$ seule dans une fraction.
2. Multiplie en croix : numérateur d'un côté × dénominateur de l'autre.
3. Divise par le nombre qui reste pour isoler $x$.

$\dfrac{3}{4} = \dfrac{x}{12}$.

Produit en croix : $x = \dfrac{3 \times 12}{4} = \dfrac{36}{4} = 9$.

Le facteur "qui manque" pour isoler $x$ est toujours au dénominateur sous l'inconnue : on le fait passer en divisant.

La réciproque de Thalès sert à démontrer que deux droites sont parallèles.

Si les points $A$, $M$, $B$ et $A$, $N$, $C$ sont alignés dans le même ordre, et si $\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{AN}{AC}$, alors les droites $(MN)$ et $(BC)$ sont parallèles.

1. Vérifie que les points sont alignés dans le même ordre sur chaque droite.
2. Calcule séparément $\dfrac{AM}{AB}$ puis $\dfrac{AN}{AC}$.
3. Compare les deux rapports :
   • égaux → les droites sont parallèles ;
   • différents → elles ne le sont pas.

$AM=2$, $AB=5$, $AN=4$, $AC=10$.

$\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{2}{5} = 0{,}4$ et $\dfrac{AN}{AC} = \dfrac{4}{10} = 0{,}4$.

Rapports égaux → $(MN)\parallel(BC)$.

Calcule chaque rapport en décimal pour comparer facilement : $\frac{2}{5}=0{,}4$ et $\frac{4}{10}=0{,}4$, c'est clair !

Thalès sert dans la vie réelle : calculer une hauteur inaccessible (un arbre, un immeuble) grâce à son ombre, ou une distance impossible à mesurer directement.

On modélise la situation par deux triangles semblables et on applique le théorème.

1. Fais un schéma et nomme les points.
2. Repère les droites parallèles (souvent deux verticales : un piquet et un arbre).
3. Écris l'égalité de Thalès, puis le produit en croix.
4. N'oublie pas l'unité dans la réponse.

Un piquet de $1$ m projette une ombre de $2$ m. Au même instant, l'ombre d'un arbre mesure $10$ m. Hauteur $h$ de l'arbre ?

$\dfrac{1}{2} = \dfrac{h}{10}$, donc $h = \dfrac{1 \times 10}{2} = 5$ m.

Vérifie la cohérence : une longueur calculée doit avoir une taille « réaliste ». Un arbre de 5 m, oui ; de 500 m, sûrement une erreur !