🔺Trigonométrie

Dans un triangle rectangle, on se place par rapport à un angle aigu $\widehat{ABC}$.

• l'hypoténuse : le côté opposé à l'angle droit (toujours le même) ;
• le côté opposé : celui qui ne touche pas l'angle choisi, il est « en face » ;
• le côté adjacent : celui qui touche l'angle choisi (sans être l'hypoténuse).

Pour un angle donné :

1. Repère d'abord l'hypoténuse (face à l'angle droit).
2. Le côté opposé est en face de l'angle.
3. Le côté adjacent est le dernier (il touche l'angle, et ce n'est pas l'hypoténuse).

$ABC$ rectangle en $A$. Pour l'angle $\widehat{B}$ : l'hypoténuse est $[BC]$, le côté opposé est $[AC]$, et le côté adjacent est $[AB]$.

Opposé et adjacent changent selon l'angle choisi, mais l'hypoténuse, elle, reste toujours la même !

Les trois rapports trigonométriques, pour un angle aigu :

$\cos = \frac{\text{adjacent}}{\text{hypoténuse}} \qquad \sin = \frac{\text{opposé}}{\text{hypoténuse}} \qquad \tan = \frac{\text{opposé}}{\text{adjacent}}$

Moyen mnémotechnique SOH-CAH-TOA :

• Sin = Opposé / Hypoténuse
• Cos = Adjacent / Hypoténuse
• Tan = Opposé / Adjacent

⭐ Pour les curieux — pourquoi ça marche ? Pourquoi ces rapports ne dépendent-ils que de l'angle, et pas de la taille du triangle ? Imagine deux triangles rectangles qui ont le même angle aigu : le petit et un agrandissement de celui-ci. Comme on a juste tout multiplié par un même nombre (un agrandissement, comme avec Thalès), l'opposé ET l'hypoténuse sont multipliés par ce même facteur. Dans le rapport $\frac{\text{opposé}}{\text{hypoténuse}}$ ce facteur se simplifie et disparaît : il reste toujours la même valeur ! Voilà pourquoi $\sin(30°)$, $\cos(30°)$, $\tan(30°)$ sont des nombres fixes, gravés une fois pour toutes pour chaque angle.

Pour choisir la bonne formule :

1. Repère, par rapport à l'angle, les deux côtés concernés (connu + cherché).
2. Si c'est adjacent + hypoténuse → cos ; opposé + hypoténuse → sin ; opposé + adjacent → tan.
3. Écris la formule, puis résous.

Angle $\widehat{B}=30°$, hypoténuse $BC=10$, on cherche le côté opposé $AC$.

Opposé + hypoténuse → sinus : $\sin(30°)=\dfrac{AC}{10}$.

Comme $\sin(30°)=0{,}5$ : $AC = 10 \times 0{,}5 = 5$.

Retiens SOH-CAH-TOA comme un mot magique. À l'oral, répète-le : « so-ka-toa » ! Ça fixe les trois formules pour toujours.

Quand on connaît un angle et une longueur, on calcule une autre longueur avec la formule adaptée, puis un produit en croix.

1. Choisis cos, sin ou tan selon les côtés en jeu (SOH-CAH-TOA).
2. Écris la formule avec l'inconnue.
3. Isole l'inconnue (produit en croix).
4. Calcule en t'assurant que la calculatrice est en mode degré.

Angle $45°$, côté adjacent $= 6$, on cherche le côté opposé.

Opposé + adjacent → tangente : $\tan(45°)=\dfrac{\text{opposé}}{6}$.

Comme $\tan(45°)=1$ : opposé $= 6 \times 1 = 6$.

Quand l'inconnue est au dénominateur (ex : $\cos(60°)=\frac{8}{x}$), on multiplie en croix : $x = \frac{8}{\cos(60°)}$.

Quand on connaît deux longueurs, on retrouve l'angle avec les touches inverses de la calculatrice : $\cos^{-1}$, $\sin^{-1}$, $\tan^{-1}$ (parfois notées acos, asin, atan).

1. Calcule d'abord le rapport (ex : $\frac{\text{opposé}}{\text{hypoténuse}}$).
2. Choisis la fonction inverse correspondante.
3. Tape la touche inverse : par exemple angle $=\sin^{-1}(0{,}5)$.
4. Lis le résultat en degrés.

Côté opposé $=5$, hypoténuse $=10$. $\sin(\widehat{B})=\dfrac{5}{10}=0{,}5$.

Donc $\widehat{B}=\sin^{-1}(0{,}5)=30°$.

⚠️ La touche $\sin^{-1}$ s'obtient souvent avec SHIFT (ou 2nde) puis sin. Ne confonds pas avec $\frac{1}{\sin}$ !

Les angles du collège sont en degrés. Il faut donc que la calculatrice soit réglée en mode DEG (et non RAD pour radians, ni GRAD pour grades).

Un repère : si tu tapes $\cos(60°)$ et que tu n'obtiens pas $0{,}5$, c'est presque sûrement que tu n'es pas en mode degré.

⭐ Pour les curieux — pourquoi ça marche ? Pourquoi $\sin(30°)=0{,}5$ pile, et pas un nombre compliqué ? Prends un triangle équilatéral (3 côtés égaux, 3 angles de $60°$) de côté $10$, et coupe-le en deux par sa hauteur : tu obtiens un triangle rectangle avec un angle de $30°$ en haut. Ce coup de ciseau a partagé la base en deux, donc le côté opposé au $30°$ mesure $5$, juste la moitié de l'hypoténuse qui vaut $10$. Donc $\sin(30°)=\frac{5}{10}=0{,}5$, exactement, et ce sera pareil avec n'importe quelle taille de triangle équilatéral.

1. Cherche un indicateur « DEG » ou « D » en haut de l'écran.
2. Sinon, va dans MODE et choisis « Degree ».
3. Teste avec $\cos(60°)$ : tu dois lire $0{,}5$.

Test : en mode DEG, $\sin(30°)=0{,}5$ exactement. En mode RAD, tu obtiendrais $\approx -0{,}988$ : faux pour nous !

Quelques valeurs repères : $\sin(30°)=0{,}5$, $\cos(60°)=0{,}5$, $\tan(45°)=1$, $\cos(30°)\approx0{,}87$.

Pour un même angle $x$, on a toujours :

$\cos^2(x) + \sin^2(x) = 1$

où $\cos^2(x)$ signifie $(\cos x)^2$. Cette relation permet de retrouver $\sin$ à partir de $\cos$ (ou l'inverse).

⭐ Pour les curieux — pourquoi ça marche ? C'est Pythagore déguisé ! Dans un triangle rectangle, nomme $h$ l'hypoténuse, $a$ l'adjacent et $o$ l'opposé à l'angle $x$. Pythagore dit $a^2+o^2=h^2$. Divise les deux membres par $h^2$ : tu obtiens $\frac{a^2}{h^2}+\frac{o^2}{h^2}=1$, c'est-à-dire $\left(\frac{a}{h}\right)^2+\left(\frac{o}{h}\right)^2=1$. Or $\frac{a}{h}=\cos(x)$ et $\frac{o}{h}=\sin(x)$ : on lit donc $\cos^2(x)+\sin^2(x)=1$. La relation n'est rien d'autre que le théorème de Pythagore, ramené à une hypoténuse de longueur $1$.

Pour trouver $\sin(x)$ connaissant $\cos(x)$ :

1. Calcule $\cos^2(x)$.
2. Soustrais de 1 : $\sin^2(x) = 1 - \cos^2(x)$.
3. Prends la racine carrée (l'angle étant aigu, le sinus est positif).

Si $\cos(x)=0{,}6$ : $\sin^2(x)=1-0{,}6^2=1-0{,}36=0{,}64$.

Donc $\sin(x)=\sqrt{0{,}64}=0{,}8$.

C'est le théorème de Pythagore caché ! Le triangle 3-4-5 donne justement $\cos=0{,}6$ et $\sin=0{,}8$ (car $3/5=0{,}6$ et $4/5=0{,}8$).