🔄Transformations

Une translation fait glisser toute la figure, sans la tourner ni la déformer. Elle est définie par une direction, un sens et une longueur (résumés par un "vecteur", la flèche du glissement).

Tous les points se déplacent de la même façon : la figure obtenue est identique, juste déplacée.

Pour appliquer une translation à un point :

1. Repère la flèche : de combien de carreaux à droite/gauche, en haut/bas ?
2. Applique exactement ce déplacement au point.
3. Recommence pour chaque sommet de la figure.

Translation « 3 carreaux à droite et 2 vers le haut ». Le point $A(1\,;1)$ devient $A'(1+3\,;\,1+2) = A'(4\,;\,3)$.

La translation ne tourne jamais la figure : son orientation reste identique. Si la figure a tourné, ce n'est pas une translation !

Une rotation fait tourner la figure autour d'un point fixe, le centre.

Elle est définie par :

• son centre (le point autour duquel on tourne) ;
• son angle (par exemple $90°$, $180°$) ;
• son sens : horaire (sens des aiguilles d'une montre) ou anti-horaire (sens trigonométrique).

⭐ Pour les curieux — pourquoi ça marche ? Pourquoi une rotation de $180°$ est-elle exactement une symétrie de centre $O$ ? La rotation garde la distance : $OM'=OM$. Et tourner d'un demi-tour ($180°$) envoie $M$ pile dans la direction opposée, en ligne droite de l'autre côté de $O$. Donc $M$ et $M'$ sont alignés avec $O$, à la même distance de part et d'autre : autrement dit $O$ est le milieu de $[MM']$. Or « $O$ milieu de $[MM']$ », c'est justement la définition de la symétrie de centre $O$ : les deux transformations font donc rigoureusement la même chose.

Pour faire tourner un point $M$ autour d'un centre $O$ :

1. Repère le centre $O$ et l'angle.
2. La distance $OM$ est conservée (le point reste à la même distance de $O$).
3. Tourne du bon angle, dans le bon sens, pour placer $M'$.

Rotation de centre $O$, d'angle $180°$ : le point $M$ se retrouve « de l'autre côté » de $O$, à la même distance. C'est en fait une symétrie de centre $O$ !

Une rotation de $180°$ (peu importe le sens) est une symétrie centrale de centre $O$. Deux noms pour la même chose.

Symétrie axiale (par rapport à une droite, l'axe) : la figure se « reflète » comme dans un miroir. Le pliage le long de l'axe superpose figure et image.

Symétrie centrale (par rapport à un point, le centre) : la figure fait un demi-tour. C'est une rotation de $180°$ autour du centre.

Symétrie centrale de centre $O$ pour un point $M$ :

1. Trace la droite $(OM)$.
2. Reporte la même distance de l'autre côté de $O$.
3. $O$ est le milieu de $[MM']$.

Symétrie de centre $O$ : si $M(2\,;\,3)$ et $O(0\,;\,0)$, alors $M'(-2\,;\,-3)$ (les coordonnées changent de signe).

Axiale = miroir (un axe, une droite). Centrale = demi-tour (un centre, un point). Ne confonds pas l'axe et le centre !

Une homothétie agrandit ou réduit une figure depuis un point fixe, le centre, selon un rapport $k$.

• si $k>1$ : la figure est agrandie ;
• si $0<k<1$ : la figure est réduite ;
• si $k<0$ : la figure est agrandie/réduite et retournée (de l'autre côté du centre).

Les longueurs sont multipliées par $|k|$ ; la figure garde la même forme (les angles ne changent pas).

Pour l'image d'un point $M$ par l'homothétie de centre $O$ et rapport $k$ :

1. Trace la demi-droite $[OM)$ (ou son prolongement si $k<0$).
2. Multiplie la distance $OM$ par $|k|$ : $OM' = |k|\times OM$.
3. Si $k>0$, $M'$ est du même côté que $M$ ; si $k<0$, du côté opposé.

Homothétie de centre $O$ et rapport $k=2$ : un segment de $3$ cm devient un segment de $3\times2=6$ cm. La figure est deux fois plus grande.

Le signe de $k$ donne le côté (même côté si $k>0$, opposé si $k<0$) ; la valeur $|k|$ donne le grossissement.

Pour une homothétie (ou un agrandissement-réduction) de rapport $k$ :

• les longueurs sont multipliées par $k$ ;
• les aires sont multipliées par $k^2$ ;
• (les volumes seraient multipliés par $k^3$).

C'est logique : une aire combine deux longueurs, donc deux fois le facteur $k$.

⭐ Pour les curieux — pourquoi ça marche ? Prends un rectangle de côtés $a$ et $b$ : son aire vaut $a\times b$. Après une homothétie de rapport $k$, chaque longueur est multipliée par $k$, donc les côtés deviennent $k\times a$ et $k\times b$. La nouvelle aire est alors $(k\times a)\times(k\times b)=k\times k\times a\times b=k^2\times(a\times b)$ : le facteur $k$ apparaît deux fois, une pour chaque côté ! Et comme n'importe quelle figure peut se découper en petits rectangles, l'aire totale est elle aussi multipliée par $k^2$. Voilà pourquoi avec $k=2$ les longueurs doublent mais l'aire est multipliée par $4$.

1. Identifie le rapport $k$.
2. Pour une longueur : multiplie par $k$.
3. Pour une aire : multiplie par $k^2$ (et non par $k$ !).

Un carré d'aire $5\ \text{cm}^2$ subit une homothétie de rapport $k=3$.

Nouvelle aire $= 5 \times 3^2 = 5 \times 9 = 45\ \text{cm}^2$.

⚠️ Erreur classique : multiplier l'aire par $k$ au lieu de $k^2$. Si $k=2$, les longueurs doublent mais l'aire est multipliée par 4 !

Translation, rotation et symétries conservent les longueurs : ce sont des isométries (la figure image est superposable à la figure de départ).

L'homothétie ne conserve pas les longueurs (sauf si $|k|=1$), mais elle conserve la forme : les angles, le parallélisme et l'alignement restent.

Toutes ces transformations conservent : les angles, l'alignement des points et le parallélisme.

Pour savoir si les longueurs sont conservées :

1. Translation, rotation, symétrie → oui, longueurs conservées.
2. Homothétie de rapport $k$ → longueurs ×k (conservées seulement si $|k|=1$).

Une rotation de $90°$ transforme un segment de $7$ cm en un segment de... $7$ cm (la longueur ne change pas). Une homothétie $k=2$ le transformerait en $14$ cm.

Retiens : isométries (translation, rotation, symétrie) = mêmes longueurs ; homothétie = même forme mais taille différente.