🔍Agrandissement et réduction

Agrandir ou réduire une figure, c'est multiplier toutes ses longueurs par un même nombre $k > 0$, appelé coefficient d'agrandissement-réduction.

• Si $k > 1$ : c'est un agrandissement (la figure devient plus grande).
• Si $k < 1$ : c'est une réduction (la figure devient plus petite).
• Si $k = 1$ : la figure ne change pas.

On calcule le coefficient ainsi : $k = \dfrac{\text{longueur de l'image}}{\text{longueur de départ}}$

1. Choisis deux longueurs qui se correspondent (la même, avant et après).
2. Divise la nouvelle longueur par l'ancienne : $k = \dfrac{\text{nouvelle}}{\text{ancienne}}$.
3. Compare $k$ à 1 : si $k>1$ agrandissement, si $k<1$ réduction.

Un segment de 4 cm devient 6 cm après transformation.

$k = \dfrac{6}{4} = 1{,}5$. Comme $k > 1$, c'est un agrandissement.

Le coefficient se calcule toujours image ÷ départ, et le même $k$ s'applique à toutes les longueurs de la figure (pas seulement à un côté).

Toutes les longueurs (côtés, périmètre, diagonale, rayon, hauteur…) sont multipliées par $k$ :

$\text{nouvelle longueur} = k \times \text{ancienne longueur}$

Cela vaut aussi pour le périmètre, car un périmètre est une somme de longueurs.

1. Identifie le coefficient $k$.
2. Multiplie chaque longueur (ou le périmètre) par $k$.
3. Garde la même unité (cm reste cm).

Un triangle de périmètre 12 cm est agrandi avec $k = 3$.

Nouveau périmètre $= k \times 12 = 3 \times 12 = 36$ cm.

Pour les longueurs, c'est le cas le plus simple : on multiplie juste par $k$. Le vrai piège arrive avec les aires et les volumes !

Quand les longueurs sont multipliées par $k$, les aires sont multipliées par $k^2$ :

$\text{nouvelle aire} = k^2 \times \text{ancienne aire}$

C'est logique : une aire fait intervenir deux longueurs (longueur $\times$ largeur), donc le facteur $k$ apparaît deux fois : $k \times k = k^2$.

⭐ Pour les curieux — pourquoi ça marche ? Dessine un carré, puis agrandis-le avec $k = 2$ : son côté double. Tu peux alors paver le grand carré avec des copies du petit, et tu en comptes exactement $4$ : deux rangées de deux. Avec $k = 3$, tu obtiens $3$ rangées de $3$, soit $9$ petits carrés. À chaque fois c'est $k \times k = k^2$ : une rangée pour chaque facteur $k$ en largeur, répétée $k$ fois en hauteur. C'est pour ça qu'une aire est multipliée par $k^2$ et pas seulement par $k$.

1. Trouve $k$.
2. Calcule $k^2 = k \times k$.
3. Multiplie l'aire de départ par $k^2$.

Un carré d'aire 5 cm² est agrandi avec $k = 2$.

Nouvelle aire $= k^2 \times 5 = 2^2 \times 5 = 4 \times 5 = 20$ cm².

Erreur très fréquente : multiplier l'aire par $k$ au lieu de $k^2$. Si $k = 2$, l'aire est multipliée par 4, pas par 2 !

Les volumes sont multipliés par $k^3$ :

$\text{nouveau volume} = k^3 \times \text{ancien volume}$

Un volume fait intervenir trois longueurs ($L \times \ell \times h$), donc le facteur $k$ apparaît trois fois : $k \times k \times k = k^3$.

⭐ Pour les curieux — pourquoi ça marche ? Reprends l'idée des carrés, mais avec des cubes. Agrandis un petit cube avec $k = 2$ : son arête double, et pour remplir le gros cube il te faut $2$ couches, chacune formée de $2 \times 2 = 4$ petits cubes, soit $8$ en tout. Or $8 = 2^3$. Avec $k = 3$, ce serait $3$ couches de $3 \times 3 = 9$, donc $27 = 3^3$ petits cubes. Le facteur $k$ apparaît une fois par dimension (largeur, profondeur, hauteur) : $k \times k \times k = k^3$.

1. Trouve $k$.
2. Calcule $k^3 = k \times k \times k$.
3. Multiplie le volume de départ par $k^3$.

Un cube de volume 7 cm³ est agrandi avec $k = 2$.

Nouveau volume $= k^3 \times 7 = 2^3 \times 7 = 8 \times 7 = 56$ cm³.

Si $k = 2$ : le volume est multiplié par $2^3 = 8$, pas par 2 ni par 4 ! L'exposant indique le nombre de dimensions.

Pour un coefficient $k$, retiens d'un coup d'œil :

L'exposant = le nombre de dimensions. Une longueur a 1 dimension, une aire en a 2, un volume en a 3.

1. Demande-toi : est-ce une longueur, une aire ou un volume ?
2. Choisis le bon facteur : $k$, $k^2$ ou $k^3$.
3. Multiplie la valeur de départ par ce facteur.

Avec $k = 3$ : une longueur est multipliée par $3$, une aire par $3^2 = 9$, un volume par $3^3 = 27$.

Phrase à retenir : « Longueur $\to k$, Aire $\to k^2$, Volume $\to k^3$ ». L'exposant suit les dimensions 1, 2, 3.

On peut aussi remonter au coefficient $k$ :

• Si une aire est multipliée par un nombre $a$, alors $k^2 = a$ (donc $k$ est le nombre dont le carré vaut $a$).
• Si un volume est multiplié par un nombre $b$, alors $k^3 = b$ (donc $k$ est le nombre dont le cube vaut $b$).

En 4e, on se contente de cas simples (carrés parfaits, cubes parfaits).

1. Regarde par combien la grandeur est multipliée.
2. Aire $\times a$ : cherche $k$ tel que $k^2 = a$.
3. Volume $\times b$ : cherche $k$ tel que $k^3 = b$.

On veut que l'aire d'une figure soit multipliée par 9.

Il faut $k^2 = 9$, donc $k = 3$ (car $3^2 = 9$).

Attention au sens : pour multiplier l'aire par 9, le coefficient n'est pas 9 mais 3. C'est $k^2$ qui vaut 9 !