📦Volumes (pyramides, cônes…)

Le pavé droit (une boîte) a pour volume :

$V = L \times \ell \times h$

où $L$ = longueur, $\ell$ = largeur, $h$ = hauteur.

Le cube est un pavé dont les trois dimensions sont égales (côté $a$) :

$V = a \times a \times a = a^3$

Un volume s'exprime toujours en unités cubes ($cm^3$, $m^3$…).

1. Vérifie que les trois longueurs sont dans la même unité.
2. Multiplie longueur $\times$ largeur $\times$ hauteur.
3. Écris le résultat avec l'unité au cube.

Pavé de dimensions 4 cm, 3 cm et 2 cm.

$V = 4 \times 3 \times 2 = 24$ $cm^3$.

Pour un cube de côté $a$, calcule $a \times a \times a$, pas $3 \times a$. Exemple : cube de côté 2 → $2^3 = 8$ et non $6$.

Un cylindre a pour base un disque de rayon $r$. Son volume est l'aire de la base multipliée par la hauteur :

$V = \pi \times r^2 \times h$

où $h$ est la hauteur du cylindre. On prend $\pi \approx 3{,}14$.

1. Calcule l'aire du disque de base : $\pi \times r^2$.
2. Multiplie cette aire par la hauteur $h$.
3. N'oublie pas que $r$ est le rayon (la moitié du diamètre).

Cylindre de rayon $r = 3$ cm et hauteur $h = 7$ cm, avec $\pi \approx 3{,}14$.

$V = \pi \times r^2 \times h = 3{,}14 \times 3^2 \times 7 = 3{,}14 \times 9 \times 7 = 3{,}14 \times 63 = 197{,}82$ $cm^3$.

Dans $\pi r^2$, c'est le rayon qui est au carré, pas $\pi$. Et le rayon = la moitié du diamètre !

La pyramide et le cône ont la même formule :

$V = \dfrac{\text{Aire de la base} \times h}{3}$

• Pyramide (base = polygone) : $V = \dfrac{A_{base} \times h}{3}$
• Cône (base = disque de rayon $r$) : $V = \dfrac{\pi \times r^2 \times h}{3}$

Ici $h$ est la hauteur (du sommet jusqu'à la base, perpendiculairement).

⭐ Pour les curieux — pourquoi ça marche ? Prends un cube de côté $a$ et choisis un de ses 8 coins. Depuis ce coin, on peut découper le cube en exactement 3 pyramides identiques : chacune a pour base une des 3 faces du cube qui ne touchent pas le coin, et pour pointe ce coin choisi. Chaque pyramide a donc une base carrée d'aire $a^2$ et une hauteur $a$. Comme les 3 pyramides remplissent tout le cube et sont superposables, chacune occupe $\dfrac{1}{3}$ du cube : $\dfrac{a^3}{3} = \dfrac{a^2 \times a}{3} = \dfrac{\text{Aire de la base} \times h}{3}$. Voilà d'où vient le fameux $\div 3$, et on admet qu'il reste vrai pour n'importe quelle pyramide ou cône, même tout pointus !

1. Calcule l'aire de la base (polygone, ou $\pi r^2$ pour un cône).
2. Multiplie cette aire par la hauteur $h$.
3. Divise par 3 (c'est l'étape qu'on oublie le plus souvent !).

Pyramide de base carrée d'aire 24 cm² et de hauteur $h = 6$ cm.

$V = \dfrac{A_{base} \times h}{3} = \dfrac{24 \times 6}{3} = \dfrac{144}{3} = 48$ $cm^3$.

Une pyramide (ou un cône) « tient » exactement 3 fois dans le prisme (ou cylindre) de même base et même hauteur. D'où le $\div 3$.

Pour un cône, la base est un disque, donc on remplace l'aire de la base par $\pi \times r^2$ :

$V = \dfrac{\pi \times r^2 \times h}{3}$

On prend $\pi \approx 3{,}14$, et $h$ est la hauteur du cône.

1. Calcule l'aire de la base : $\pi \times r^2$.
2. Multiplie par la hauteur $h$.
3. Divise le tout par 3.

Cône de rayon $r = 6$ cm et hauteur $h = 10$ cm, avec $\pi \approx 3{,}14$.

$V = \dfrac{\pi \times r^2 \times h}{3} = \dfrac{3{,}14 \times 6^2 \times 10}{3} = \dfrac{3{,}14 \times 36 \times 10}{3} = \dfrac{1130{,}4}{3} = 376{,}8$ $cm^3$.

Beaucoup d'élèves calculent $\pi r^2 h$ et s'arrêtent là : c'est l'erreur la plus fréquente ! Le cône, c'est ce résultat divisé par 3.

Entre deux unités de volume qui se suivent, on multiplie (ou divise) par 1000 (et non par 10 !) :

$1\ m^3 = 1000\ dm^3 \qquad 1\ dm^3 = 1000\ cm^3$

Lien avec les litres (à connaître par cœur) :

$1\ L = 1\ dm^3 \qquad 1\ mL = 1\ cm^3 \qquad 1\ m^3 = 1000\ L$

⭐ Pour les curieux — pourquoi ça marche ? Pourquoi $\times 1000$ et pas $\times 10$ ? Parce qu'un volume a 3 dimensions. Comme $1\ dm = 10\ cm$, un cube de $1\ dm^3$ est en réalité un empilement de petits cubes de $1\ cm^3$ : $10$ en longueur, $10$ en largeur et $10$ en hauteur. Ça fait $10 \times 10 \times 10 = 1000$ petits cubes. Chaque dimension apporte son $\times 10$, et $3$ fois $\times 10$ donne les $3$ zéros : c'est exactement le $\times 1000$.

1. Repère l'unité de départ et l'unité d'arrivée.
2. En descendant ($m^3 \to dm^3 \to cm^3$) : multiplie par 1000 à chaque marche.
3. En remontant : divise par 1000 à chaque marche.

Convertir $2{,}5\ dm^3$ en $cm^3$, puis en litres.

$2{,}5\ dm^3 = 2{,}5 \times 1000 = 2500\ cm^3$.

Et comme $1\ dm^3 = 1\ L$ : $2{,}5\ dm^3 = 2{,}5\ L$.

Le piège classique : entre deux unités de volume on multiplie par 1000, pas par 10. Pense aux 3 zéros, un par dimension.

Pour ne pas te tromper, repère d'abord le solide :

Les deux dernières formules (pyramide, cône) ont toujours le $\div 3$.

1. Identifie le solide (a-t-il une pointe ? une base ronde ?).
2. Choisis la formule dans le tableau.
3. Vérifie : pyramide et cône → ne pas oublier le $\div 3$.

Un cône et un cylindre ont le même rayon et la même hauteur. Le volume du cône est 3 fois plus petit que celui du cylindre.

Si le solide finit en pointe (cône, pyramide), il y a un $\div 3$. Si ses deux bouts sont identiques (cylindre, prisme), il n'y en a pas.