📦Pyramides et cônes

Une pyramide a une base polygonale (triangle, carré, rectangle...) et un sommet relié à tous les côtés de la base par des faces triangulaires.

Un cône de révolution a une base en disque et un sommet ; on l'obtient en faisant tourner un triangle rectangle autour d'un de ses côtés de l'angle droit.

Pour reconnaître le solide :

1. Regarde la base : un polygone → pyramide ; un disque → cône.
2. Vérifie qu'il y a un sommet unique pointu.
3. Compte les faces (pour la pyramide) : base + faces triangulaires.

Une pyramide à base carrée a : 1 base carrée + 4 faces triangulaires, soit 5 faces au total, 5 sommets et 8 arêtes.

Base polygonale → pyramide. Base ronde (disque) → cône. Dans les deux cas : un seul sommet pointu en haut.

La hauteur $h$ d'une pyramide (ou d'un cône) est la distance entre le sommet et le plan de la base, mesurée perpendiculairement à la base.

⚠️ Ne confonds pas la hauteur (verticale, du sommet à la base) avec l'apothème ou une arête qui, eux, sont inclinés.

Pour repérer la hauteur :

1. Place le sommet en haut.
2. Descends droit (perpendiculairement) jusqu'à la base.
3. Cette distance verticale est la hauteur $h$.

Cône de sommet $S$ : sa hauteur $h$ relie $S$ au centre du disque de base, perpendiculairement. Le côté incliné (de $S$ au bord du disque) est plus long.

La hauteur est toujours perpendiculaire à la base. Une longueur inclinée n'est jamais la hauteur dans la formule du volume !

Un patron est la figure à plat qui, une fois découpée et pliée, forme le solide.

• Patron d'une pyramide : le polygone de base + les faces triangulaires rabattues autour de la base.
• Patron d'un cône : un disque (la base) + une portion de disque (secteur), qui s'enroule pour former la surface latérale.

Pour construire un patron de pyramide :

1. Trace la base (le polygone).
2. Sur chaque côté de la base, construis la face triangulaire correspondante.
3. Vérifie que, plié, chaque triangle rejoint le sommet.

Patron d'une pyramide à base carrée : un carré central, avec un triangle accolé sur chacun de ses 4 côtés. Une fois plié, les 4 triangles se rejoignent au sommet.

Le patron du cône surprend : sa surface latérale est une part de disque (comme une part de tarte), pas un triangle !

Le volume d'une pyramide est :

$V = \frac{\text{aire de la base} \times \text{hauteur}}{3}$

C'est un tiers du volume du prisme (ou pavé) qui aurait la même base et la même hauteur.

⭐ Pour les curieux — pourquoi ça marche ? D'où sort ce mystérieux « $\div 3$ » ? Prends un cube d'arête $a$ et choisis un de ses sommets. De ce sommet, tu peux découper le cube en trois pyramides identiques : chacune a pour base une des trois faces du cube qui ne touchent pas ce sommet (un carré de côté $a$), et pour pointe le sommet choisi. Comme les trois sont superposables et remplissent tout le cube, chacune vaut exactement un tiers du cube. La formule donne bien $\dfrac{a^2 \times a}{3} = \dfrac{a^3}{3}$, soit le tiers du cube $a^3$ : le « $\div 3$ » n'est donc pas magique, il vient d'un découpage parfait.

1. Calcule l'aire de la base (carré, rectangle, triangle...).
2. Multiplie par la hauteur $h$.
3. Divise le tout par 3.
4. N'oublie pas l'unité de volume (cm³, m³...).

Pyramide à base carrée de côté $6$ cm et de hauteur $10$ cm.

Aire de la base : $6 \times 6 = 36$ cm². Volume : $V = \dfrac{36 \times 10}{3} = \dfrac{360}{3} = 120$ cm³.

Ne jamais oublier de diviser par 3 ! Sans cela, tu calcules le volume d'un pavé, pas d'une pyramide.

Le cône suit la même formule, avec une base circulaire d'aire $\pi \times r^2$ ($r$ = rayon du disque) :

$V = \frac{\pi \times r^2 \times h}{3}$

C'est un tiers du volume du cylindre de même base et même hauteur.

⭐ Pour les curieux — pourquoi ça marche ? Tu peux le vérifier toi-même : prends un cône et un cylindre transparents qui ont exactement le même disque de base et la même hauteur. Remplis le cône de sable (ou d'eau) et verse-le dans le cylindre : il faut le faire exactement trois fois pour remplir le cylindre, pas une de plus. C'est pour cela que le volume du cône est le tiers de celui du cylindre, et qu'on retrouve le même « $\div 3$ » que pour la pyramide.

1. Calcule l'aire du disque de base : $\pi \times r^2$.
2. Multiplie par la hauteur $h$.
3. Divise par 3.
4. Garde $\pi$ (valeur exacte) ou prends $\pi \approx 3{,}14$ (valeur approchée).

Cône de rayon $r = 3$ cm et de hauteur $h = 4$ cm.

Aire de base : $\pi \times 3^2 = 9\pi$ cm². Volume : $V = \dfrac{9\pi \times 4}{3} = \dfrac{36\pi}{3} = 12\pi \approx 37{,}7$ cm³.

Pyramide et cône partagent la même formule : (aire de base × hauteur) ÷ 3. Seule l'aire de la base change (polygone ou disque).