⚖️Équations du premier degré

Une équation est une égalité contenant un nombre inconnu, noté souvent $x$.

Résoudre l'équation, c'est trouver toutes les valeurs de $x$ qui rendent l'égalité vraie : ce sont les solutions.

On imagine une balance en équilibre : les deux plateaux (les deux membres) ont la même valeur.

Pour vérifier qu'une valeur est solution :

1. Remplace $x$ par cette valeur dans le membre de gauche, calcule.
2. Fais de même dans le membre de droite.
3. Si les deux résultats sont égaux, c'est bien une solution.

Est-ce que $x = 3$ est solution de $2x + 1 = 7$ ?

Gauche : $2\times 3 + 1 = 7$. Droite : $7$. Les deux sont égaux : oui, $3$ est solution.

Une équation peut avoir une solution, aucune, ou une infinité. Au premier degré ($ax+b=cx+d$ avec $a\neq c$), il y a toujours exactement une solution.

Une égalité reste vraie si on fait la même chose des deux côtés :

• Ajouter ou retrancher un même nombre aux deux membres.
• Multiplier ou diviser les deux membres par un même nombre non nul.

Ces règles permettent d'isoler $x$ petit à petit.

⭐ Pour les curieux — pourquoi ça marche ? L'astuce « un terme qui traverse le signe $=$ change de signe » n'est pas magique : c'est juste la règle de la balance, faite d'un coup. Pars de $x + 4 = 9$. Pour enlever le $+4$ à gauche, on retranche $4$ des deux côtés : $x + 4 - 4 = 9 - 4$, ce qui donne $x = 9 - 4$. Le $+4$ a « disparu » à gauche et est réapparu en $-4$ à droite : il n'a pas vraiment traversé, on a simplement retranché $4$ partout. Voilà pourquoi un terme qui change de côté change de signe.

Garde toujours l'équilibre de la balance : ce que tu fais à gauche, fais-le aussi à droite, exactement de la même manière.

Résous $x + 4 = 9$.

On retranche $4$ des deux côtés : $x + 4 - 4 = 9 - 4$, donc $x = 5$.

Astuce du « changement de côté » : un terme qui traverse le signe $=$ change de signe. $x + 4 = 9$ devient $x = 9 - 4$.

C'est le cas général au programme de 4e. On veut rassembler les $x$ d'un côté et les nombres de l'autre.

$ax + b = cx + d$

1. Rassemble les termes en $x$ d'un même côté (en ajoutant/retranchant).
2. Rassemble les nombres de l'autre côté.
3. Réduis chaque membre.
4. Divise par le coefficient de $x$ pour l'isoler.
5. Vérifie ta solution dans l'équation de départ.

Résous $5x + 2 = 3x + 8$.

On retranche $3x$ : $5x - 3x + 2 = 8$, soit $2x + 2 = 8$. On retranche $2$ : $2x = 6$. On divise par $2$ : $x = 3$.

Vérif : gauche $5\times3+2 = 17$, droite $3\times3+8 = 17$. ✔

Fais toujours la vérification à la fin : remplace ta solution dans l'équation de départ. Si les deux membres sont égaux, tu es sûr de toi.

Quand l'équation contient des parenthèses, on développe d'abord, puis on résout comme d'habitude.

1. Développe les parenthèses (distributivité).
2. Réduis chaque membre.
3. Rassemble les $x$ d'un côté, les nombres de l'autre.
4. Isole $x$.

Résous $3(x + 2) = 15$.

On développe : $3x + 6 = 15$. On retranche $6$ : $3x = 9$. On divise par $3$ : $x = 3$.

Tu peux aussi diviser directement par $3$ : $x + 2 = 5$, donc $x = 3$. Choisis la méthode la plus rapide selon l'équation.

Beaucoup de problèmes se résolvent en traduisant l'énoncé par une équation.

On choisit l'inconnue (la grandeur cherchée), on traduit les phrases en égalité, on résout, puis on conclut en revenant à la question.

1. Choisis l'inconnue : « Soit $x$ le nombre cherché ».
2. Traduis l'énoncé en équation.
3. Résous l'équation.
4. Conclus par une phrase répondant à la question, et vérifie la cohérence.

« Je pense à un nombre, je le multiplie par $4$ et j'ajoute $3$ : j'obtiens $23$. Quel est ce nombre ? »

Soit $x$ le nombre. Équation : $4x + 3 = 23$. $4x = 20$, donc $x = 5$. Le nombre est $5$.

Relis bien l'énoncé : « ajoute $3$ » se traduit par $+3$, « le double » par $\times 2$, « diminué de $5$ » par $-5$. Traduire mot à mot évite les erreurs.