📐Cosinus d'un angle aigu

Dans un triangle rectangle, on se place par rapport à un angle aigu, par exemple $\widehat{ABC}$.

• l'hypoténuse : le côté opposé à l'angle droit (toujours le plus long) ;
• le côté adjacent à l'angle : celui qui touche l'angle choisi, sans être l'hypoténuse.

Pour un angle donné :

1. Repère d'abord l'hypoténuse (face à l'angle droit).
2. Parmi les deux côtés qui touchent l'angle, l'un est l'hypoténuse.
3. L'autre côté qui touche l'angle est le côté adjacent.

$ABC$ rectangle en $A$. Pour l'angle $\widehat{ABC}$ : l'hypoténuse est $[BC]$, et le côté adjacent à l'angle est $[AB]$ (il touche $B$).

Le mot « adjacent » veut dire « à côté de » : c'est le côté collé à l'angle. L'hypoténuse, elle, ne change jamais.

Pour un angle aigu d'un triangle rectangle :

$\cos(\widehat{ABC}) = \frac{\text{côté adjacent}}{\text{hypoténuse}}$

Le cosinus est un nombre sans unité, toujours compris entre 0 et 1 pour un angle aigu (le côté adjacent est plus court que l'hypoténuse).

⭐ Pour les curieux — pourquoi ça marche ? Pourquoi peut-on parler du cosinus d'un angle, alors qu'il existe des milliers de triangles rectangles différents ? Prends deux triangles rectangles qui partagent le même angle aigu : ils ont chacun un angle droit et cet angle en commun, donc leur troisième angle est aussi le même (la somme fait $180°$). Leurs angles sont égaux deux à deux : ce sont des triangles semblables, l'un est un agrandissement de l'autre. Du coup tous leurs côtés sont multipliés par un même rapport $k$, et dans le quotient $\dfrac{\text{adjacent}}{\text{hypoténuse}}$ ce $k$ se simplifie ! Le résultat ne dépend donc QUE de l'angle, jamais de la taille du triangle : voilà pourquoi le cosinus est un vrai « code-barres » de l'angle.

Pour écrire le cosinus :

1. Place-toi sur l'angle choisi.
2. Repère le côté adjacent (qui touche l'angle) et l'hypoténuse.
3. Écris $\cos = \dfrac{\text{adjacent}}{\text{hypoténuse}}$.

$ABC$ rectangle en $A$, $AB = 4$ (adjacent à $\widehat{B}$) et $BC = 5$ (hypoténuse).

$\cos(\widehat{ABC}) = \dfrac{AB}{BC} = \dfrac{4}{5} = 0{,}8$.

Moyen mnémotechnique CAH : Cosinus = Adjacent / Hypoténuse. Le cosinus d'un angle aigu est toujours entre 0 et 1.

Quand on connaît un angle et une longueur (adjacent ou hypoténuse), on calcule l'autre avec la formule du cosinus, puis un produit en croix.

1. Écris $\cos(\text{angle}) = \dfrac{\text{adjacent}}{\text{hypoténuse}}$.
2. Remplace l'angle et la longueur connue.
3. Isole l'inconnue (produit en croix).
4. Calcule avec la calculatrice en mode degré.

Angle $\widehat{B} = 60°$, hypoténuse $BC = 10$, on cherche le côté adjacent $AB$.

$\cos(60°) = \dfrac{AB}{10}$, et $\cos(60°) = 0{,}5$.

Donc $AB = 10 \times 0{,}5 = 5$.

Quand l'inconnue est au numérateur, on multiplie : $AB = BC \times \cos(\text{angle})$. Simple et rapide !

⭐ Anticipation 3e (calculer un angle avec $\cos^{-1}$ est officiellement au programme de 3e ; en 4e, on attend surtout de calculer une longueur). Quand on connaît le côté adjacent et l'hypoténuse, on retrouve l'angle avec la touche inverse de la calculatrice : $\cos^{-1}$ (parfois notée acos ou arccos).

1. Calcule le rapport $\dfrac{\text{adjacent}}{\text{hypoténuse}}$.
2. Tape la touche $\cos^{-1}$ de ce rapport.
3. Lis le résultat en degrés.
4. Arrondis si on le demande (souvent au degré près).

Côté adjacent $= 5$, hypoténuse $= 10$. $\cos(\widehat{B}) = \dfrac{5}{10} = 0{,}5$.

Donc $\widehat{B} = \cos^{-1}(0{,}5) = 60°$.

⚠️ La touche $\cos^{-1}$ s'obtient souvent avec SHIFT (ou 2nde) puis cos. Ne confonds pas avec $\dfrac{1}{\cos}$ !

Les angles du collège sont en degrés. Il faut que la calculatrice soit réglée en mode DEG (et non RAD pour radians, ni GRAD pour grades).

Un repère : si tu tapes $\cos(60°)$ et que tu n'obtiens pas $0{,}5$, c'est presque sûrement que tu n'es pas en mode degré.

⭐ Pour les curieux — pourquoi ça marche ? D'où sort ce $\cos(60°) = 0{,}5$ si net ? Dessine un triangle équilatéral de côté $1$ (ses trois angles valent $60°$) et coupe-le en deux par sa hauteur. Tu obtiens un triangle rectangle dont l'hypoténuse est un côté complet ($1$), et dont le côté adjacent à l'angle de $60°$ est la moitié de la base, soit $\dfrac{1}{2}$. Donc $\cos(60°) = \dfrac{1/2}{1} = 0{,}5$, exactement : pas un arrondi, mais une moitié pile, lue directement sur le triangle.

1. Cherche un indicateur « DEG » ou « D » en haut de l'écran.
2. Sinon, va dans MODE et choisis « Degree ».
3. Teste avec $\cos(60°)$ : tu dois lire $0{,}5$.

Test : en mode DEG, $\cos(60°) = 0{,}5$ exactement. En mode RAD, tu obtiendrais $\approx -0{,}95$ : faux pour nous !

Quelques valeurs repères : $\cos(60°) = 0{,}5$, $\cos(0°) = 1$, $\cos(30°) \approx 0{,}87$, $\cos(45°) \approx 0{,}71$.