📐Théorème de Pythagore

Dans un triangle rectangle, l'angle droit est marqué par un petit carré.

L'hypoténuse est le côté opposé à l'angle droit : c'est toujours le côté le plus long du triangle.

Dans un triangle $ABC$ rectangle en $A$, l'angle droit est en $A$, donc l'hypoténuse est le côté $[BC]$ (celui qui ne touche pas $A$).

Pour repérer l'hypoténuse :

1. Trouve le sommet où se trouve l'angle droit (le petit carré).
2. L'hypoténuse est le côté qui ne passe pas par ce sommet.
3. Vérifie : c'est bien le plus long des trois côtés.

Triangle $DEF$ rectangle en $E$.

L'angle droit est en $E$ ; l'hypoténuse est donc $[DF]$.

⚠️ Piège fréquent : on confond l'hypoténuse avec le côté « horizontal ». Non ! L'hypoténuse dépend uniquement de la position de l'angle droit.

Théorème de Pythagore. Si un triangle $ABC$ est rectangle en $A$, alors :

$BC^2 = AB^2 + AC^2$

Autrement dit : le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés.

⭐ Pour les curieux — pourquoi ça marche ? Dessine un grand carré dont le côté mesure $a+b$ (les deux petits côtés du triangle bout à bout). On va le remplir de deux façons, sans rien laisser dépasser. Première façon : place quatre exemplaires de ton triangle rectangle, un dans chaque coin ; le trou laissé au milieu est un carré incliné dont le côté est exactement l'hypoténuse $c$, donc son aire vaut $c^2$. Aire du grand carré = les 4 triangles + $c^2$. Deuxième façon : réarrange les mêmes quatre triangles, collés deux par deux, de sorte que les trous forment cette fois deux carrés posés droit, l'un de côté $a$ (aire $a^2$), l'autre de côté $b$ (aire $b^2$). Aire du grand carré = les 4 triangles + $a^2 + b^2$. Le grand carré n'a pas changé d'aire et les quatre triangles occupent la même place dans les deux cas : ce qui reste est donc égal, $a^2 + b^2 = c^2$. Le carré de l'hypoténuse, c'est littéralement la place qu'occupent les deux autres carrés réunis !

Pour calculer l'hypoténuse (le grand côté) :

1. Écris l'égalité de Pythagore : $BC^2 = AB^2 + AC^2$.
2. Remplace les longueurs connues et calcule les carrés.
3. Additionne pour trouver $BC^2$.
4. Prends la racine carrée : $BC = \sqrt{BC^2}$.

$ABC$ rectangle en $A$ avec $AB = 3$ cm et $AC = 4$ cm.

$BC^2 = AB^2 + AC^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$

$BC = \sqrt{25} = 5$ cm.

Le triplet 3 - 4 - 5 revient tout le temps ! Comme $3^2 + 4^2 = 5^2$, dès que tu vois 3 et 4, pense à 5.

Si on connaît l'hypoténuse et l'un des deux petits côtés, on cherche le côté manquant en soustrayant au lieu d'additionner.

De $BC^2 = AB^2 + AC^2$, on tire $AB^2 = BC^2 - AC^2$.

1. Écris Pythagore : $BC^2 = AB^2 + AC^2$.
2. Isole le côté cherché : $AB^2 = BC^2 - AC^2$ (grand carré moins petit carré).
3. Calcule la différence.
4. Prends la racine carrée.

$ABC$ rectangle en $A$, hypoténuse $BC = 13$ cm et $AC = 5$ cm. On cherche $AB$.

$AB^2 = BC^2 - AC^2 = 13^2 - 5^2 = 169 - 25 = 144$

$AB = \sqrt{144} = 12$ cm.

⚠️ Pour un petit côté on soustrait ($BC^2 - AC^2$), jamais l'inverse. Si tu trouves un carré négatif, c'est que tu as inversé : recommence !

La réciproque sert à démontrer qu'un triangle est rectangle.

Réciproque de Pythagore. Dans un triangle, si le carré du plus grand côté est égal à la somme des carrés des deux autres côtés, alors le triangle est rectangle, et l'angle droit est opposé au plus grand côté.

1. Repère le plus grand côté (la future hypoténuse).
2. Calcule séparément $d_1 = (\text{grand côté})^2$.
3. Calcule $d_2 = (\text{somme des carrés des deux autres côtés})$.
4. Compare $d_1$ et $d_2$ :
   • égaux → le triangle est rectangle ;
   • différents → il ne l'est pas.

Triangle de côtés $6$, $8$ et $10$. Plus grand côté : $10$.

$10^2 = 100$ et $6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$.

Égalité vérifiée → le triangle est rectangle, l'angle droit est opposé au côté $10$.

Calcule toujours les deux membres séparément, puis conclus. Ne mélange jamais les deux calculs dans une seule ligne.

Si le carré du plus grand côté n'est pas égal à la somme des carrés des deux autres, alors le triangle n'est pas rectangle.

C'est exactement le même calcul que la réciproque : la conclusion change seulement parce que l'égalité est fausse.

1. Calcule $(\text{plus grand côté})^2$ d'un côté.
2. Calcule la somme des carrés des deux autres de l'autre côté.
3. Si les deux résultats sont différents → conclus : pas rectangle.

Triangle de côtés $4$, $5$ et $7$. Plus grand côté : $7$.

$7^2 = 49$ et $4^2 + 5^2 = 16 + 25 = 41$.

$49 \neq 41$ → le triangle n'est pas rectangle.

Réciproque et « pas rectangle », c'est le même calcul ! Seul le résultat de la comparaison (égal ou non) décide de la conclusion.

Un triplet pythagoricien est un trio d'entiers qui vérifie Pythagore. À connaître par cœur :

• $3 - 4 - 5$ ($\;9 + 16 = 25$)
• $5 - 12 - 13$ ($\;25 + 144 = 169$)
• $6 - 8 - 10$ (le double de $3-4-5$)
• $8 - 15 - 17$ ($\;64 + 225 = 289$)

Multiplier tous les côtés d'un triplet par un même nombre donne un nouveau triplet.

⭐ Pour les curieux — pourquoi ça marche ? Pourquoi multiplier un triplet par un même nombre $k$ en redonne toujours un ? Pars de $3^2 + 4^2 = 5^2$. Si tu multiplies chaque côté par $k$, le premier carré devient $(3k)^2 = 3^2 \times k^2$, le deuxième $(4k)^2 = 4^2 \times k^2$, et leur somme vaut $(3^2 + 4^2)\times k^2 = 5^2 \times k^2 = (5k)^2$. Le facteur $k^2$ se met en facteur partout : l'égalité de Pythagore est juste agrandie, donc elle reste vraie. C'est exactement pour ça que $3\text{-}4\text{-}5$ fabrique gratuitement $6\text{-}8\text{-}10$, $9\text{-}12\text{-}15$, et tous ses multiples.

Pour reconnaître un triplet :

1. Prends le plus grand nombre et élève-le au carré.
2. Additionne les carrés des deux autres.
3. Si les deux résultats sont égaux, c'est un triplet pythagoricien !

Le trio $8 - 15 - 17$ : plus grand côté $17$.

$17^2 = 289$ et $8^2 + 15^2 = 64 + 225 = 289$.

Égalité → c'est bien un triplet pythagoricien.

Multiplier $3-4-5$ par $2$ donne $6-8-10$ ; par $3$ donne $9-12-15$. Tous ces trios fonctionnent : un seul à retenir, plein de triplets gratuits !