🔺Agrandissement et triangles

Agrandir ou réduire une figure, c'est multiplier toutes ses longueurs par un même nombre $k$, le rapport (ou échelle).

• si $k > 1$ : c'est un agrandissement (la figure devient plus grande) ;
• si $k < 1$ : c'est une réduction (la figure devient plus petite) ;
• les angles, eux, ne changent pas : la forme est conservée.

Pour trouver le rapport $k$ :

1. Repère une longueur sur la figure de départ et la même sur l'image.
2. Divise la longueur de l'image par la longueur de départ : $k = \dfrac{\text{longueur image}}{\text{longueur départ}}$.
3. Toutes les autres longueurs suivent le même rapport $k$.

Un segment de $3$ cm devient $9$ cm après agrandissement.

$k = \dfrac{9}{3} = 3$ : c'est un agrandissement de rapport $3$. Un autre côté de $4$ cm deviendra $4 \times 3 = 12$ cm.

Les longueurs sont multipliées par $k$, mais les angles ne bougent pas ! Un agrandissement garde exactement la même forme.

Deux triangles sont semblables quand l'un est un agrandissement (ou une réduction) de l'autre.

Concrètement, deux triangles sont semblables lorsqu'ils ont leurs angles deux à deux égaux. Leurs côtés sont alors proportionnels : on passe de l'un à l'autre en multipliant par le rapport $k$.

Pour reconnaître deux triangles semblables :

1. Compare les angles : s'ils sont égaux deux à deux, les triangles sont semblables.
2. (Il suffit même de deux angles égaux, le troisième suit automatiquement.)
3. Les côtés correspondants sont alors proportionnels.

Un triangle a pour angles $40°$, $60°$ et $80°$. Un autre triangle a aussi $40°$ et $60°$ (donc $80°$ pour le troisième).

Mêmes angles → les deux triangles sont semblables.

Pour des triangles, deux angles égaux suffisent : comme la somme des angles fait toujours $180°$, le troisième est forcément égal lui aussi.

Dans deux triangles semblables, les côtés correspondants sont proportionnels : le rapport entre un côté et son côté correspondant est toujours le même, c'est $k$.

On peut donc retrouver une longueur manquante par un produit en croix.

⭐ Pour les curieux — pourquoi ça marche ? Passer d'un triangle à son semblable, c'est juste l'agrandir (ou le réduire) de rapport $k$ : on multiplie toutes ses longueurs par le même nombre $k$. Du coup, pour n'importe quel côté, on a $\text{côté image} = k \times \text{côté départ}$, donc le rapport $\dfrac{\text{côté image}}{\text{côté départ}}$ vaut toujours $k$, peu importe le côté choisi. C'est exactement ce que veut dire « proportionnels » : un seul et même rapport pour toutes les paires de côtés correspondants. C'est pour ça qu'il suffit d'en connaître une paire pour deviner toutes les autres.

1. Trouve le rapport $k$ avec une paire de côtés correspondants connus.
2. Pour une longueur cherchée, multiplie le côté correspondant par $k$.
3. Ou bien écris une égalité de rapports et fais le produit en croix.

Petit triangle : côtés $3$, $4$, $5$. Grand triangle semblable : le côté correspondant à $3$ mesure $6$.

$k = \dfrac{6}{3} = 2$. Le côté correspondant à $5$ mesure donc $5 \times 2 = 10$.

Vérifie que tu compares bien des côtés correspondants (en face des mêmes angles). Sinon le rapport est faux !

Cas très fréquent : un triangle $ABC$, et une droite parallèle à $(BC)$ qui coupe $[AB]$ en $M$ et $[AC]$ en $N$.

On obtient alors un petit triangle $AMN$ emboîté dans le grand triangle $ABC$. Comme $(MN) \parallel (BC)$, ces deux triangles sont semblables : leurs côtés sont proportionnels.

1. Vérifie que $(MN)$ est parallèle à $(BC)$.
2. Écris les rapports égaux : $\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{AN}{AC} = \dfrac{MN}{BC}$.
3. Garde la fraction connue et celle avec l'inconnue.
4. Calcule par produit en croix.

$(MN) \parallel (BC)$ avec $AM = 2$, $AB = 6$ et $BC = 9$. On cherche $MN$.

$\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{MN}{BC}$ donne $\dfrac{2}{6} = \dfrac{MN}{9}$.

Produit en croix : $MN = \dfrac{2 \times 9}{6} = \dfrac{18}{6} = 3$ cm.

Pas de parallèles → pas de proportionnalité directe ! Le parallélisme de $(MN)$ et $(BC)$ est ce qui rend les triangles semblables.

Pour résoudre une égalité de deux fractions $\dfrac{a}{b} = \dfrac{x}{d}$, on utilise le produit en croix : $a \times d = b \times x$, donc $x = \dfrac{a \times d}{b}$.

C'est l'outil pour toute situation de proportionnalité.

⭐ Pour les curieux — pourquoi ça marche ? Partons de l'égalité $\dfrac{a}{b} = \dfrac{x}{d}$. Une égalité reste vraie si on multiplie les deux côtés par le même nombre : multiplions-les par $b \times d$. À gauche, $\dfrac{a}{b} \times b \times d$ : le $b$ se simplifie et il reste $a \times d$. À droite, $\dfrac{x}{d} \times b \times d$ : le $d$ se simplifie et il reste $x \times b$. On obtient donc $a \times d = b \times x$. Le produit en croix n'est pas un tour de magie : c'est juste « je multiplie des deux côtés par le bon nombre pour faire disparaître les fractions ».

1. Place l'inconnue $x$ seule dans une fraction.
2. Multiplie en croix : numérateur d'un côté × dénominateur de l'autre.
3. Divise par le nombre qui reste pour isoler $x$.

$\dfrac{3}{4} = \dfrac{x}{12}$.

Produit en croix : $x = \dfrac{3 \times 12}{4} = \dfrac{36}{4} = 9$.

Le facteur « qui manque » pour isoler $x$ est toujours au dénominateur sous l'inconnue : on le fait passer en divisant.