➗Calculs : relatifs et fractions

Un nombre relatif a un signe ($+$ ou $-$).

• Même signe : on additionne les distances à zéro et on garde le signe commun. $(-3) + (-5) = -8$.
• Signes différents : on soustrait les distances à zéro et on garde le signe de celle qui est la plus grande. $(-7) + (+2) = -5$.

Soustraire, c'est ajouter l'opposé : $a - b = a + (-b)$. Ainsi $5 - (-3) = 5 + 3 = 8$.

1. Transforme toute soustraction en addition de l'opposé.
2. Regarde les signes : mêmes signes $\to$ on ajoute ; signes contraires $\to$ on soustrait.
3. Détermine le signe du résultat.

Calcule $-4 - (-9)$.

$-4 - (-9) = -4 + 9$. Signes différents : $9 - 4 = 5$, signe du plus grand ($+$).

Résultat : $+5$.

Deux « moins » qui se suivent donnent un « plus » — mais seulement quand on SOUSTRAIT un négatif : $-4 - (-9) = -4 + 9$. ⚠️ Ça ne marche jamais pour une addition : $-3 + (-5) = -8$ (deux dettes, ça reste une dette !).

Règle des signes (pour $\times$ et $\div$) :

• $(+)\times(+) = +$ et $(-)\times(-) = +$ : mêmes signes $\to$ positif.
• $(+)\times(-) = -$ et $(-)\times(+) = -$ : signes différents $\to$ négatif.

La même règle vaut pour la division.

Mais pourquoi $(-)\times(-) = +$ ? Regarde la descente régulière (on multiplie par $-2$) : $3\times(-2)=-6$, puis $2\times(-2)=-4$, $1\times(-2)=-2$, $0\times(-2)=0$. À chaque pas, le résultat monte de $2$. Pour continuer la régularité, il faut que $(-1)\times(-2)=+2$, puis $(-2)\times(-2)=+4$… Deux négatifs donnent bien un positif !

1. Calcule d'abord le signe du résultat avec la règle des signes.
2. Multiplie (ou divise) les distances à zéro.
3. Combine signe et valeur.

Calcule $(-6) \times (-4)$.

Mêmes signes $\to$ résultat positif. $6 \times 4 = 24$.

Donc $(-6)\times(-4) = +24$.

Pour un produit de plusieurs facteurs : compte les signes « moins ». Un nombre pair de « moins » donne $+$, un nombre impair donne $-$.

Pour additionner ou soustraire deux fractions, il faut le même dénominateur.

$\dfrac{a}{c} + \dfrac{b}{c} = \dfrac{a+b}{c}$

Si les dénominateurs diffèrent, on les réduit au même dénominateur avant d'additionner.

⭐ Pour les curieux — pourquoi ça marche ? Une fraction, c'est un nombre de parts toutes de la même taille : $\dfrac{a}{c}$ veut dire « $a$ parts d'une part qui vaut $\dfrac{1}{c}$ ». Si deux fractions ont le même dénominateur $c$, leurs parts ont exactement la même taille, alors $a$ parts plus $b$ parts font tout simplement $a+b$ parts : $\dfrac{a}{c}+\dfrac{b}{c}=\dfrac{a+b}{c}$. C'est comme additionner $3$ pommes et $2$ pommes : on garde « pommes » (le dénominateur) et on ajoute les nombres (les numérateurs). Mais des cinquièmes et des quarts n'ont pas la même taille, comme des pommes et des poires : il faut d'abord les recouper à la même taille (même dénominateur) avant de pouvoir les compter ensemble.

1. Trouve un dénominateur commun (souvent un multiple commun des deux).
2. Transforme chaque fraction pour qu'elle ait ce dénominateur.
3. Additionne (ou soustrais) les numérateurs, garde le dénominateur commun.
4. Simplifie si possible.

Calcule $\dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{4}$.

Dénominateur commun $12$ : $\dfrac{1}{3} = \dfrac{4}{12}$ et $\dfrac{1}{4} = \dfrac{3}{12}$.

$\dfrac{4}{12} + \dfrac{3}{12} = \dfrac{7}{12}$.

On n'additionne jamais les dénominateurs ! $\dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{4} \neq \dfrac{2}{7}$. Il faut d'abord le même dénominateur.

Pour multiplier deux fractions, on multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux :

$\dfrac{a}{b} \times \dfrac{c}{d} = \dfrac{a\times c}{b\times d}$

Pas besoin de dénominateur commun ici !

⭐ Pour les curieux — pourquoi ça marche ? Multiplier par une fraction, c'est en prendre « une part de ». Dessine un carré, et prends-en $\dfrac{5}{7}$ en le découpant en $7$ bandes verticales dont tu colories $5$. Pour en prendre maintenant les $\dfrac{2}{3}$, recoupe le carré en $3$ bandes horizontales et garde $2$ d'entre elles. Le carré est alors quadrillé en $3\times 7 = 21$ petits rectangles identiques (le nouveau dénominateur), et la zone coloriée deux fois en compte $2\times 5 = 10$ (le nouveau numérateur). On retrouve exactement $\dfrac{2}{3}\times\dfrac{5}{7}=\dfrac{2\times 5}{3\times 7}=\dfrac{10}{21}$.

1. Multiplie les numérateurs entre eux.
2. Multiplie les dénominateurs entre eux.
3. Simplifie la fraction obtenue (ou simplifie avant de multiplier, c'est plus rapide).

Calcule $\dfrac{2}{3} \times \dfrac{5}{7}$.

$\dfrac{2\times 5}{3\times 7} = \dfrac{10}{21}$.

Pour multiplier une fraction par un entier : $5 \times \dfrac{2}{3} = \dfrac{5\times 2}{3} = \dfrac{10}{3}$ (on multiplie seulement le numérateur).

Diviser par une fraction, c'est multiplier par son inverse :

$\dfrac{a}{b} \div \dfrac{c}{d} = \dfrac{a}{b} \times \dfrac{d}{c}$

L'inverse de $\dfrac{c}{d}$ est $\dfrac{d}{c}$ (on retourne la fraction).

⭐ Pour les curieux — pourquoi ça marche ? Diviser par $\dfrac{c}{d}$ revient à se demander « combien de fois $\dfrac{c}{d}$ tient dans le nombre ? ». Commence par le cas facile : dans $1$, combien de fois tient $\dfrac{1}{d}$ ? Comme il faut $d$ parts de taille $\dfrac{1}{d}$ pour faire $1$, la réponse est $d$. Donc diviser par $\dfrac{1}{d}$, c'est multiplier par $d$ : partager en parts plus petites donne plus de parts ! Diviser par $\dfrac{c}{d}$, c'est diviser par $\dfrac{1}{d}$ (donc $\times d$) mais avec des parts $c$ fois plus grosses (donc $\div c$), ce qui revient à multiplier par $\dfrac{d}{c}$, l'inverse.

1. Garde la première fraction telle quelle.
2. Remplace $\div$ par $\times$.
3. Retourne (inverse) la deuxième fraction.
4. Multiplie, puis simplifie.

Calcule $\dfrac{3}{4} \div \dfrac{2}{5}$.

$\dfrac{3}{4} \times \dfrac{5}{2} = \dfrac{15}{8}$.

On n'inverse que la deuxième fraction (le diviseur), jamais la première ! « On garde, on change, on inverse. »

Dans une expression avec plusieurs opérations, on respecte un ordre :

1. Les parenthèses d'abord.
2. Les puissances.
3. Les multiplications et divisions (de gauche à droite).
4. Les additions et soustractions (de gauche à droite).

1. Repère et calcule ce qui est entre parenthèses.
2. Calcule les puissances.
3. Effectue les $\times$ et $\div$ de gauche à droite.
4. Termine par les $+$ et $-$ de gauche à droite.

Calcule $3 + 4 \times 2$.

La multiplication est prioritaire : $4\times 2 = 8$.

Puis $3 + 8 = 11$.

$3 + 4 \times 2 = 11$, et non $14$ ! Sans parenthèses, le $\times$ passe avant le $+$.