🔢Découverte des fonctions

Une fonction est un procédé qui, à un nombre, associe un seul autre nombre.

On peut voir une fonction comme une machine : tu entres un nombre, elle te renvoie un résultat. À une même entrée correspond toujours une seule sortie.

1. Repère le nombre de départ (l'entrée).
2. Applique le programme de calcul ou la formule.
3. Le résultat obtenu est la sortie.

Programme : « choisis un nombre, multiplie-le par $3$ ».

Entrée $5$ $\longrightarrow$ sortie $5 \times 3 = 15$.

Entrée $4$ $\longrightarrow$ sortie $4 \times 3 = 12$.

Une entrée ne peut donner qu'une seule sortie. Si une même entrée pouvait donner deux résultats, ce ne serait pas une fonction.

On nomme souvent une fonction par une lettre, par exemple $f$.

On note $f(x)$ (« $f$ de $x$ ») le résultat obtenu quand on applique la fonction $f$ au nombre $x$.

Par exemple, $f : x \mapsto 3x$ signifie : à $x$ on associe $3x$.

1. Remplace $x$ par le nombre choisi dans la formule.
2. Effectue le calcul.
3. Écris le résultat sous la forme $f(\dots) = \dots$.

Soit $f : x \mapsto 3x$.

$f(5) = 3 \times 5 = 15$.

$f(0) = 3 \times 0 = 0$.

$f(x)$ se lit « $f$ de $x$ ». Ce n'est PAS $f$ multiplié par $x$ : c'est le résultat de la fonction $f$ appliquée à $x$.

Si $f(a) = b$, on dit que :

• $b$ est l'image de $a$ par $f$ ;
• $a$ est un antécédent de $b$ par $f$.

L'image se calcule facilement (on connaît l'entrée). Trouver un antécédent, c'est l'inverse : on cherche quelle entrée donne une sortie connue.

Image : remplace $x$ par le nombre et calcule $f(x)$.

Antécédent : tu connais le résultat, tu cherches le nombre de départ qui donne ce résultat.

Soit $f : x \mapsto 3x$.

Image de $4$ : $f(4) = 3 \times 4 = 12$. Donc $12$ est l'image de $4$.

Antécédent de $21$ : on cherche $x$ tel que $3x = 21$, soit $x = 7$. Donc $7$ est un antécédent de $21$.

Sens des mots : l'image est ce qui sort, l'antécédent est ce qui entre. « Anté » veut dire « avant » !

Un tableau de valeurs range les nombres de départ $x$ et leurs images $f(x)$.

La 1re ligne donne les valeurs de $x$, la 2e les images correspondantes.

1. Pour lire une image : trouve $x$ sur la 1re ligne, lis $f(x)$ en dessous.
2. Pour lire un antécédent : trouve la valeur dans la 2e ligne, lis le $x$ correspondant au-dessus.

Pour $f : x \mapsto 3x$ :

Image de $2$ : $f(2) = 6$. Antécédent de $12$ : c'est $4$.

Vérifie une colonne au hasard avec la formule : $f(2) = 3 \times 2 = 6$, c'est bien la valeur du tableau.

On peut représenter une fonction par une courbe dans un repère.

Un point de la courbe de coordonnées $(a\,;\,b)$ signifie que $f(a) = b$ : l'image de $a$ est $b$.

⭐ Pour les curieux — pourquoi ça marche ? Imagine que tu fais tourner la machine $f$ pour CHAQUE nombre $a$ et que, à chaque fois, tu plantes un point à l'horizontale $a$ et à la hauteur $f(a)$. La courbe, ce n'est rien d'autre que tous ces points mis bout à bout : elle « range » la sortie de la machine juste au-dessus (ou en-dessous) de son entrée. C'est pour ça qu'en partant de $a$ sur l'axe horizontal et en montant jusqu'à la courbe, on retombe exactement sur $f(a)$ : la hauteur du point AU-DESSUS de $a$ a été construite pour valoir $f(a)$. Lire l'antécédent, c'est faire le trajet en sens inverse : on connaît la hauteur $b$, on cherche au-dessus de quel $a$ se trouve un point à cette hauteur.

1. Image de $a$ : pars de $a$ sur l'axe horizontal, monte jusqu'à la courbe, lis la valeur sur l'axe vertical.
2. Antécédent de $b$ : pars de $b$ sur l'axe vertical, va jusqu'à la courbe, lis la valeur sur l'axe horizontal.

Si le point $(2\,;\,5)$ est sur la courbe de $f$, alors $f(2) = 5$ : l'image de $2$ est $5$, et $2$ est un antécédent de $5$.

Horizontal = les $x$ (les entrées), Vertical = les images $f(x)$ (les sorties). On lit toujours $(x\,;\,y) = (x\,;\,f(x))$.