📊Statistiques

L'effectif d'une valeur est le nombre de fois où elle apparaît.

L'effectif total $N$ est le nombre total de données.

La fréquence d'une valeur est la part qu'elle représente :

$\text{fréquence} = \dfrac{\text{effectif de la valeur}}{\text{effectif total}}$

⭐ Pour les curieux — pourquoi ça marche ? Additionner toutes les fréquences, c'est faire $\dfrac{\text{effectif}_1}{N} + \dfrac{\text{effectif}_2}{N} + \dots$ : toutes ces fractions ont le même dénominateur $N$. On peut donc ajouter les numérateurs : on retombe sur $\dfrac{\text{effectif}_1 + \text{effectif}_2 + \dots}{N}$. Or le haut, c'est la somme de tous les effectifs, donc l'effectif total $N$ lui-même : la somme vaut $\dfrac{N}{N} = 1$. C'est logique : réunir toutes les parts, ça reconstitue le tout entier, soit $100\,\%$.

1. Compte l'effectif de chaque valeur.
2. Additionne pour obtenir l'effectif total $N$.
3. Fréquence $= \dfrac{\text{effectif}}{N}$.
4. Pour un pourcentage, multiplie la fréquence par $100$.

Dans une classe de $25$ élèves, $10$ font de l'allemand.

Fréquence $= \dfrac{10}{25} = 0{,}4 = 40\,\%$.

La somme de toutes les fréquences vaut toujours $1$ (soit $100\,\%$). C'est un bon moyen de vérifier ton tableau !

La moyenne d'une série est la somme de toutes les valeurs divisée par leur nombre :

$\bar{x} = \dfrac{\text{somme des valeurs}}{\text{nombre de valeurs}}$

⭐ Pour les curieux — pourquoi ça marche ? Imagine que chaque valeur est une pile de jetons, et que tu verses tous les jetons dans un seul tas avant de les répartir équitablement entre toutes les piles : c'est exactement ça, la moyenne. Maintenant, si on remplaçait toutes les valeurs par le minimum, le total serait au plus égal au vrai total, donc la moyenne (qui vaudrait alors exactement le minimum) ne peut pas dépasser la vraie moyenne : la vraie moyenne est donc $\geqslant$ le minimum. De même, en remplaçant tout par le maximum, la vraie moyenne est $\leqslant$ le maximum. La moyenne est ainsi toujours comprise entre le minimum et le maximum.

1. Additionne toutes les valeurs.
2. Compte le nombre de valeurs.
3. Divise la somme par ce nombre.

Notes : $12$, $14$, $10$, $16$.

Moyenne $= \dfrac{12 + 14 + 10 + 16}{4} = \dfrac{52}{4} = 13$.

La moyenne est toujours comprise entre la plus petite et la plus grande valeur. Si tu trouves en dehors, c'est qu'il y a une erreur !

Quand des valeurs se répètent (ou ont des coefficients), on utilise la moyenne pondérée : chaque valeur est multipliée par son effectif (ou son coefficient).

$\bar{x} = \dfrac{\text{somme des (valeur} \times \text{effectif)}}{\text{somme des effectifs}}$

1. Multiplie chaque valeur par son effectif (ou coefficient).
2. Additionne tous ces produits.
3. Divise par la somme des effectifs (ou coefficients).

Note $8$ (coef $1$), $14$ (coef $2$), $12$ (coef $1$).

$\bar{x} = \dfrac{8 \times 1 + 14 \times 2 + 12 \times 1}{1 + 2 + 1} = \dfrac{8 + 28 + 12}{4} = \dfrac{48}{4} = 12$.

N'oublie pas de diviser par la somme des coefficients, pas par le nombre de valeurs différentes !

La médiane partage la série, rangée dans l'ordre croissant, en deux groupes de même effectif : au moins la moitié des valeurs lui sont inférieures ou égales, au moins la moitié lui sont supérieures ou égales.

1. Range les valeurs dans l'ordre croissant.
2. Si l'effectif est impair : la médiane est la valeur du milieu.
3. Si l'effectif est pair : la médiane est la moyenne des deux valeurs centrales.

Série : $7$, $9$, $4$, $12$, $8$ ($5$ valeurs).

Rangée : $4$, $7$, $\mathbf{8}$, $9$, $12$. La médiane est $8$ (la $3^\text{e}$ valeur, celle du milieu).

Pour $n$ valeurs rangées, la position du milieu (effectif impair) est la $\dfrac{n+1}{2}\,^\text{e}$ : avec $5$ valeurs, c'est la $3^\text{e}$.

L'étendue mesure la dispersion d'une série. C'est la différence entre la plus grande et la plus petite valeur :

$\text{étendue} = \text{valeur maximale} - \text{valeur minimale}$

1. Repère la plus grande valeur (le maximum).
2. Repère la plus petite valeur (le minimum).
3. Soustrais : maximum $-$ minimum.

Série : $4$, $7$, $8$, $9$, $12$.

Étendue $= 12 - 4 = 8$.

L'étendue dit seulement « à quel point les valeurs sont écartées ». Elle ne renseigne pas sur la valeur centrale (ça, c'est la médiane ou la moyenne).

Un tableau d'effectifs donne, pour chaque valeur, son effectif.

Un diagramme en bâtons ou un histogramme représente ces effectifs par des hauteurs. Un diagramme circulaire (camembert) représente les fréquences par des angles.

⭐ Pour les curieux — pourquoi ça marche ? Dans un camembert, le disque entier ($360°$, un tour complet) représente tout l'effectif $N$. L'angle d'un secteur est donc proportionnel à son effectif : si l'effectif total $N$ vaut $360°$, alors un effectif de $1$ vaut $\dfrac{360°}{N}$, et un effectif $e$ vaut $e \times \dfrac{360°}{N} = \dfrac{e}{N} \times 360°$. C'est pour ça qu'un secteur qui représente la moitié des données fait un demi-tour ($180°$), et un quart fait $90°$.

1. Lis bien le titre et les unités (axes, légende).
2. Pour un effectif : lis la hauteur du bâton correspondant.
3. Dans un camembert : un angle de $360°$ correspond à $100\,\%$ (donc à l'effectif total).

Camembert : un secteur d'angle $90°$ représente $\dfrac{90}{360} = \dfrac{1}{4} = 25\,\%$ de l'effectif total.

Dans un camembert : $\text{angle} = \dfrac{\text{effectif}}{N} \times 360°$. La somme de tous les angles fait toujours $360°$.