📈Proportionnalité et pourcentages

Deux grandeurs sont proportionnelles quand on passe de l'une à l'autre en multipliant toujours par le même nombre, appelé coefficient de proportionnalité $k$.

Dans un tableau de proportionnalité, chaque valeur de la 2e ligne s'obtient en multipliant la valeur de la 1re ligne par ce coefficient $k$.

1. Choisis une colonne complète (les deux valeurs connues).
2. Calcule $k = \dfrac{\text{valeur du bas}}{\text{valeur du haut}}$.
3. Vérifie que ce $k$ marche pour les autres colonnes connues.
4. Multiplie par $k$ pour compléter le tableau.

Coefficient : $k = \dfrac{6}{2} = 3$ (et $\dfrac{15}{5} = 3$, c'est cohérent).

Prix pour $8$ kg : $8 \times 3 = 24$ €.

Pour vérifier la proportionnalité : tous les rapports $\dfrac{\text{bas}}{\text{haut}}$ doivent être égaux.

Quand il manque une seule valeur dans un tableau de proportionnalité, on la trouve grâce au produit en croix.

Si le tableau est $\begin{array}{c|c} a & b \\ \hline c & x \end{array}$, alors $a \times x = b \times c$, donc $x = \dfrac{b \times c}{a}$.

⭐ Pour les curieux — pourquoi ça marche ? Le produit en croix n'est pas une formule magique : il vient du coefficient $k$. Dans le tableau $\begin{array}{c|c} a & b \\ \hline c & x \end{array}$, on passe du haut au bas en multipliant par le même $k$, donc $c = k \times a$ et $x = k \times b$. Calculons les deux diagonales : $b \times c = b \times (k \times a) = k \times a \times b$ et $a \times x = a \times (k \times b) = k \times a \times b$. Ce sont les mêmes produits ! Voilà pourquoi $a \times x = b \times c$ : les deux diagonales cachent toujours le même $k \times a \times b$.

1. Repère la valeur manquante $x$.
2. Multiplie les deux nombres situés en diagonale (sans $x$).
3. Divise ce produit par le troisième nombre connu.
4. Écris le résultat avec son unité.

$5$ stylos coûtent $4$ €. Combien coûtent $12$ stylos ?

$x = \dfrac{12 \times 4}{5} = \dfrac{48}{5} = 9{,}6$ €.

La valeur trouvée s'appelle la quatrième proportionnelle. Place toujours les mêmes grandeurs sur la même ligne !

Prendre $t\,\%$ d'une quantité, c'est la multiplier par $\dfrac{t}{100}$.

$t\,\% \text{ de } N = \dfrac{t}{100} \times N$

1. Écris le pourcentage en fraction : $t\,\% = \dfrac{t}{100}$.
2. Multiplie par la quantité de départ.
3. Arrondis si besoin et ajoute l'unité.

$20\,\%$ de $150$ € : $\dfrac{20}{100} \times 150 = 0{,}20 \times 150 = 30$ €.

$10\,\%$ = diviser par $10$ ; $50\,\%$ = la moitié ; $25\,\%$ = le quart. Très pratique pour vérifier de tête !

Augmenter de $t\,\%$ revient à multiplier par $\left(1 + \dfrac{t}{100}\right)$.

Diminuer de $t\,\%$ revient à multiplier par $\left(1 - \dfrac{t}{100}\right)$.

Ce nombre s'appelle le coefficient multiplicateur.

⭐ Pour les curieux — pourquoi ça marche ? D'où sort ce « $+1$ » mystérieux ? Augmenter un prix $N$ de $t\,\%$, c'est garder le prix entier et lui ajouter le supplément $\dfrac{t}{100} \times N$. Le nouveau prix vaut donc $N + \dfrac{t}{100} \times N$. Comme $N = 1 \times N$, on peut mettre $N$ en facteur : $1 \times N + \dfrac{t}{100} \times N = \left(1 + \dfrac{t}{100}\right) \times N$. Le « $1$ » représente les $100\,\%$ que tu paies déjà, et $\dfrac{t}{100}$ la part en plus : tu n'oublies jamais le prix de départ !

1. Identifie si c'est une hausse ($+$) ou une baisse ($-$).
2. Calcule le coefficient : $1 \pm \dfrac{t}{100}$.
3. Multiplie la valeur de départ par ce coefficient.

Un article à $80$ € augmente de $15\,\%$.

Coefficient : $1 + \dfrac{15}{100} = 1{,}15$.

Nouveau prix : $80 \times 1{,}15 = 92$ €.

Une baisse de $20\,\%$ donne le coefficient $0{,}80$ : il reste $80\,\%$ du prix de départ.

La vitesse moyenne est proportionnelle au rapport entre la distance parcourue et la durée du trajet :

$v = \dfrac{d}{t}$

où $v$ est en km/h, $d$ en km et $t$ en h (heures).

1. Vérifie que les unités sont cohérentes (km et heures).
2. Pour la vitesse : $v = \dfrac{d}{t}$.
3. Pour la distance : $d = v \times t$.
4. Pour la durée : $t = \dfrac{d}{v}$.

Une voiture parcourt $150$ km en $2$ h.

$v = \dfrac{150}{2} = 75$ km/h.

$30$ min $= 0{,}5$ h et $15$ min $= 0{,}25$ h. Convertis toujours les minutes en heures avant de calculer !

Sur un plan ou une carte, l'échelle est le coefficient de proportionnalité entre les longueurs du dessin et les longueurs réelles (exprimées dans la même unité).

$\text{échelle} = \dfrac{\text{longueur sur le plan}}{\text{longueur réelle}}$

1. Convertis les deux longueurs dans la même unité.
2. Pour l'échelle : divise la longueur du plan par la longueur réelle.
3. Pour une longueur réelle : longueur sur le plan $\div$ échelle.

Échelle $\dfrac{1}{200}$ : $1$ cm sur le plan représente $200$ cm $= 2$ m en réalité.

Un mur de $3$ cm sur le plan mesure donc $3 \times 200 = 600$ cm $= 6$ m.

Échelle $< 1$ : c'est une réduction (plan plus petit que la réalité). N'oublie jamais de convertir en une seule unité !