🎲Probabilités

Une expérience aléatoire est une expérience dont on ne peut pas prévoir le résultat à l'avance (lancer un dé, tirer une carte…).

Chaque résultat possible s'appelle une issue. L'ensemble de toutes les issues forme les issues possibles de l'expérience.

1. Identifie l'expérience (que fait-on ?).
2. Liste toutes les issues possibles.
3. Compte-les pour connaître le nombre total d'issues.

Lancer un dé à $6$ faces.

Issues possibles : $1$, $2$, $3$, $4$, $5$, $6$. Il y a $6$ issues.

Liste les issues sans en oublier ni en compter deux fois : c'est la base de tout le calcul de probabilité.

Un événement est constitué d'une ou plusieurs issues qui réalisent une condition donnée.

Un événement qui ne se réalise jamais est impossible ; un événement qui se réalise toujours est certain.

1. Lis bien la condition de l'événement.
2. Repère, parmi les issues possibles, celles qui le réalisent.
3. Ces issues sont les issues favorables à l'événement.

Dé à $6$ faces, événement « obtenir un nombre pair ».

Issues favorables : $2$, $4$, $6$ ($3$ issues favorables).

« Obtenir un $7$ avec un dé à $6$ faces » est un événement impossible. « Obtenir un nombre $\leqslant 6$ » est certain.

La probabilité d'un événement mesure sa chance de se produire. C'est un nombre compris entre $0$ et $1$.

• Probabilité $0$ : événement impossible.
• Probabilité $1$ : événement certain.
• Plus la probabilité est proche de $1$, plus l'événement est probable.

⭐ Pour les curieux — pourquoi ça marche ? Pourquoi une probabilité ne peut-elle jamais sortir de l'intervalle de $0$ à $1$ ? Imagine que tu comptes les issues qui te font gagner parmi toutes les issues possibles. Au minimum, aucune ne te convient (tu en comptes $0$) : la chance vaut $0$. Au maximum, elles te conviennent toutes : tu obtiens le total complet, soit la chance $1$. Comme le nombre de cas favorables est toujours coincé entre « aucun » et « tous », la probabilité est forcément coincée entre $0$ et $1$. Dépasser $1$ reviendrait à compter plus de cas gagnants qu'il n'existe de cas possibles, ce qui est absurde !

1. Une probabilité s'écrit en fraction, en décimal ou en pourcentage.
2. Elle est toujours comprise entre $0$ et $1$ ($0\,\%$ et $100\,\%$).
3. Repère les cas extrêmes : impossible ($0$) et certain ($1$).

Probabilité d'obtenir « pile » avec une pièce équilibrée : $\dfrac{1}{2} = 0{,}5 = 50\,\%$.

Une probabilité ne peut JAMAIS dépasser $1$. Si tu trouves $1{,}5$ ou $\dfrac{7}{6}$, il y a une erreur !

Quand toutes les issues ont la même chance de se produire, on parle d'équiprobabilité (dé équilibré, pièce non truquée…).

La probabilité d'un événement est alors :

$p = \dfrac{\text{nombre d'issues favorables}}{\text{nombre d'issues possibles}}$

⭐ Pour les curieux — pourquoi ça marche ? D'où sort cette formule ? Imagine un dé équilibré à $6$ faces : les $6$ issues se partagent équitablement toute la certitude, qui vaut $1$. Chacune reçoit donc la même petite part : $\dfrac{1}{6}$. Maintenant, pour l'événement « nombre pair », tu réunis les $3$ issues $2$, $4$, $6$ : tu additionnes $\dfrac{1}{6} + \dfrac{1}{6} + \dfrac{1}{6} = \dfrac{3}{6}$. Tu retrouves bien $\dfrac{\text{favorables}}{\text{possibles}}$ : compter les cas favorables revient juste à empiler autant de parts $\dfrac{1}{n}$ !

1. Compte le nombre d'issues favorables à l'événement.
2. Compte le nombre total d'issues possibles.
3. Divise : $p = \dfrac{\text{favorables}}{\text{possibles}}$.
4. Simplifie la fraction si possible.

Dé à $6$ faces, événement « obtenir un nombre pair ».

$p = \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2} = 0{,}5$.

Cette formule ne marche QUE s'il y a équiprobabilité. Vérifie toujours que toutes les issues ont la même chance !

L'événement contraire de $A$, noté $\bar{A}$, se réalise exactement quand $A$ ne se réalise pas.

Leurs probabilités sont liées par :

$p(\bar{A}) = 1 - p(A)$

⭐ Pour les curieux — pourquoi ça marche ? Voici l'idée en une image. L'événement $A$ et son contraire $\bar{A}$ se partagent toutes les issues, sans en oublier aucune et sans en compter deux fois : chaque résultat tombe soit dans $A$, soit dans $\bar{A}$. Réunis, ils forment donc l'événement certain, dont la probabilité vaut $1$. Cela donne $p(A) + p(\bar{A}) = 1$, et il suffit de faire passer $p(A)$ de l'autre côté pour obtenir $p(\bar{A}) = 1 - p(A)$.

1. Identifie l'événement $A$.
2. Décris son contraire $\bar{A}$ (« tout sauf $A$ »).
3. Calcule : $p(\bar{A}) = 1 - p(A)$.

Dé à $6$ faces. $A$ = « obtenir un $6$ », donc $p(A) = \dfrac{1}{6}$.

$\bar{A}$ = « ne pas obtenir $6$ » : $p(\bar{A}) = 1 - \dfrac{1}{6} = \dfrac{5}{6}$.

C'est souvent plus rapide de calculer le contraire : « au moins un… » se calcule vite avec $1 - p(\text{aucun})$.