√Racines carrées (découverte)

Le carré d'un nombre $a$ est $a^2 = a \times a$.

Par exemple $5^2 = 25$ et $7^2 = 49$.

Le carré d'un nombre est toujours positif ou nul : même $(-3)^2 = (-3)\times(-3) = 9$.

⭐ Pour les curieux — pourquoi ça marche ? Pourquoi le carré d'un nombre négatif est-il positif ? Regarde la régularité des produits par $3$ : $3 \times 3 = 9$, $2 \times 3 = 6$, $1 \times 3 = 3$, $0 \times 3 = 0$ : on descend de $3$ à chaque ligne. En continuant le motif : $(-1)\times 3 = -3$, puis $(-2)\times 3 = -6$. Maintenant fixons $-3$ et faisons descendre le second facteur : $(-3)\times 1 = -3$, $(-3)\times 0 = 0$ ; pour garder le même rythme (monter de $3$ à chaque ligne en descendant le facteur), $(-3)\times(-1)$ doit valoir $+3$, et $(-3)\times(-3) = +9$. Deux nombres négatifs multipliés donnent donc un positif : un carré n'est jamais négatif.

Pour calculer un carré :

1. Écris le nombre deux fois en produit : $a\times a$.
2. Effectue la multiplication.

Calcule $8^2$.

$8^2 = 8\times 8 = 64$.

Le carré n'est jamais négatif. Si on te demande le carré de $-4$, c'est $(-4)^2 = 16$, un nombre positif.

Pour un nombre positif $a$, la racine carrée de $a$, notée $\sqrt{a}$, est le nombre positif dont le carré vaut $a$ :

$\sqrt{a} = b \quad \text{signifie} \quad b \ge 0 \text{ et } b^2 = a$

Par exemple $\sqrt{25} = 5$ car $5 \ge 0$ et $5^2 = 25$. De plus $\sqrt{0} = 0$.

Pour trouver $\sqrt{a}$ quand $a$ est un carré parfait :

1. Cherche le nombre positif $b$ tel que $b^2 = a$.
2. Ce nombre $b$ est $\sqrt{a}$.

Calcule $\sqrt{49}$.

On cherche $b\ge 0$ tel que $b^2 = 49$. Comme $7^2 = 49$, on a $\sqrt{49} = 7$.

La racine carrée d'un nombre négatif n'existe pas (en 4e) : aucun nombre au carré ne donne un résultat négatif. $\sqrt{-9}$ n'a pas de sens.

Un carré parfait est le carré d'un entier. Leur racine carrée est un entier :

$1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144 \dots$

Ce sont $1^2, 2^2, 3^2, 4^2, \dots, 12^2$. Les connaître par cœur fait gagner du temps.

Pour reconnaître un carré parfait :

1. Compare-le à la liste des carrés des entiers de $1$ à $12$ (voire au-delà).
2. S'il y figure, sa racine est l'entier correspondant.

$\sqrt{81} = ?$ Le nombre $81$ est dans la liste : $81 = 9^2$. Donc $\sqrt{81} = 9$.

Apprends les carrés jusqu'à $12^2 = 144$ : c'est la base pour reconnaître instantanément les racines « rondes ».

Pour un nombre positif $a$, la racine carrée et le carré « s'annulent » :

$\sqrt{a^2} = a \qquad \text{et} \qquad \left(\sqrt{a}\right)^2 = a$

Ce sont deux opérations inverses l'une de l'autre.

⭐ Pour les curieux — pourquoi ça marche ? Ce n'est pas de la magie : c'est la définition elle-même qui parle. Pour un nombre $a \ge 0$, le symbole $\sqrt{a^2}$ désigne le nombre positif dont le carré vaut $a^2$. Or quel nombre positif, élevé au carré, redonne $a^2$ ? C'est tout simplement $a$ lui-même ! Donc $\sqrt{a^2} = a$. C'est pour ça qu'on dit que la racine carrée « défait » le carré : elle pose exactement la question inverse, et $a$ en est la réponse évidente. (Attention : ceci suppose bien $a \ge 0$, ce qui est toujours le cas des nombres avec lesquels on travaille ici.)

1. Si tu vois $\sqrt{a^2}$ avec $a \ge 0$, le résultat est simplement $a$.
2. Si tu vois $\left(\sqrt{a}\right)^2$ avec $a \ge 0$, le résultat est $a$.

Calcule $\sqrt{6^2}$ et $\left(\sqrt{13}\right)^2$.

$\sqrt{6^2} = 6$ et $\left(\sqrt{13}\right)^2 = 13$.

Pratique : $\left(\sqrt{2}\right)^2 = 2$ exactement, alors que la calculatrice affiche $\sqrt{2}\approx 1{,}414$. La valeur exacte est plus précise !

Certaines racines tombent « juste » : $\sqrt{16} = 4$ (valeur exacte).

D'autres ne sont pas des nombres décimaux : $\sqrt{2} \approx 1{,}414$ est une valeur approchée. La valeur exacte reste $\sqrt{2}$.

En 4e, on garde l'écriture $\sqrt{2}$, $\sqrt{3}$, $\sqrt{5}\dots$ pour les valeurs exactes.

1. Si le nombre sous la racine est un carré parfait $\to$ valeur exacte entière.
2. Sinon, la valeur exacte se garde sous la forme $\sqrt{\dots}$ ; la calculatrice donne une valeur approchée.

$\sqrt{36} = 6$ (exacte) ; $\sqrt{10} \approx 3{,}16$ (approchée, exacte $= \sqrt{10}$).

Le symbole $\approx$ veut dire « environ ». N'écris jamais $\sqrt{2} = 1{,}414$ (c'est faux), mais $\sqrt{2} \approx 1{,}414$.

Dans un triangle rectangle, le théorème de Pythagore donne le carré de l'hypoténuse :

$\text{hypoténuse}^2 = \text{côté}_1^2 + \text{côté}_2^2$

Pour obtenir la longueur de l'hypoténuse, on prend la racine carrée de ce carré.

1. Calcule la somme des carrés des deux côtés de l'angle droit.
2. Tu obtiens le carré de l'hypoténuse.
3. Prends la racine carrée pour avoir la longueur de l'hypoténuse.

Un triangle rectangle a des côtés de l'angle droit de $3$ et $4$.

Hypoténuse$^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$.

Hypoténuse $= \sqrt{25} = 5$.

Le célèbre triangle « $3$, $4$, $5$ » : un grand classique où la racine tombe juste. Quand elle ne tombe pas juste, on laisse la réponse sous la forme $\sqrt{\dots}$.