🔄Translation et rotation

Une translation fait glisser toute la figure, sans la tourner ni la déformer. Elle est définie par une direction, un sens et une longueur (résumés par un « vecteur », la flèche du glissement).

Tous les points se déplacent de la même façon : la figure obtenue est identique, juste déplacée.

Pour appliquer une translation à un point :

1. Repère la flèche : de combien de carreaux à droite/gauche, en haut/bas ?
2. Applique exactement ce déplacement au point.
3. Recommence pour chaque sommet de la figure.

Translation « 3 carreaux à droite et 2 vers le haut ». Le point $A(1\,;\,1)$ devient $A'(1+3\,;\,1+2) = A'(4\,;\,3)$.

La translation ne tourne jamais la figure : son orientation reste identique. Si la figure a tourné, ce n'est pas une translation !

Une rotation fait tourner la figure autour d'un point fixe, le centre.

Elle est définie par :

• son centre (le point autour duquel on tourne) ;
• son angle (par exemple $90°$, $180°$) ;
• son sens : horaire (sens des aiguilles d'une montre) ou anti-horaire (sens trigonométrique).

Pour faire tourner un point $M$ autour d'un centre $O$ :

1. Repère le centre $O$ et l'angle.
2. La distance $OM$ est conservée (le point reste à la même distance de $O$).
3. Tourne du bon angle, dans le bon sens, pour placer $M'$.

Rotation de centre $O$, d'angle $90°$ : le point $M$ tourne d'un quart de tour autour de $O$, en restant à la même distance $OM$ de ce centre.

Bien préciser le sens : une rotation de $90°$ horaire et une rotation de $90°$ anti-horaire ne donnent pas la même image !

Une rotation d'angle $180°$ (un demi-tour) autour d'un centre $O$ est exactement la même chose qu'une symétrie centrale de centre $O$.

Pour un demi-tour, le sens n'a aucune importance : horaire ou anti-horaire, le résultat est identique.

⭐ Pour les curieux — pourquoi ça marche ? Une rotation conserve la distance au centre : après le tour, $M'$ est toujours à la distance $OM$ de $O$. Mais un demi-tour, c'est tourner d'un angle plat ($180°$) : le rayon qui partait de $O$ vers $M$ se retrouve pile dans la direction opposée. Donc $M$, $O$ et $M'$ sont alignés, avec $OM' = OM$ : autrement dit $O$ est exactement le milieu de $[MM']$. Et « $O$ milieu de $[MM']$ », c'est mot pour mot la définition de la symétrie centrale de centre $O$ : les deux transformations sont forcément la même.

Symétrie centrale de centre $O$ pour un point $M$ :

1. Trace la droite $(OM)$.
2. Reporte la même distance de l'autre côté de $O$.
3. $O$ est le milieu de $[MM']$.

Symétrie de centre $O$ avec $O(0\,;\,0)$ : si $M(2\,;\,3)$, alors $M'(-2\,;\,-3)$ (les coordonnées changent de signe).

Rotation de $180°$ = symétrie centrale : deux noms pour la même transformation. Le centre de rotation est le centre de symétrie.

Translation et rotation sont des isométries : elles déplacent la figure sans la déformer. Elles conservent donc :

• les longueurs (la figure garde la même taille) ;
• les angles ;
• les aires et les périmètres ;
• l'alignement des points et le parallélisme.

La figure image est superposable à la figure de départ.

⭐ Pour les curieux — pourquoi ça marche ? Imagine ta figure découpée dans du carton rigide. Une translation, c'est faire glisser ce carton sur la table ; une rotation, c'est planter une punaise au centre $O$ et le faire pivoter. Dans les deux cas, le carton ne se tord ni ne s'étire : la distance entre deux de ses points reste la même. Comme rien ne change à l'intérieur de la figure, ses longueurs, ses angles et donc son aire sont tous conservés. C'est pour ça que l'image est superposable à la figure de départ : seule sa place a changé.

Pour répondre à « telle grandeur est-elle conservée ? » :

1. S'il s'agit d'une translation ou d'une rotation : OUI, tout est conservé.
2. Longueur, angle, aire, périmètre : tout reste identique.
3. Seule la position (et parfois l'orientation) change.

Un rectangle d'aire $12$ cm² subit une rotation de $90°$.

Son image a toujours une aire de $12$ cm² : l'aire est conservée.

Retiens : translation et rotation ne changent ni la taille ni la forme. Seule la place de la figure change.

Devant deux figures identiques mais placées différemment, on identifie la transformation :

• la figure a glissé sans tourner → translation ;
• la figure a tourné autour d'un point → rotation ;
• la figure a fait un demi-tour → rotation de $180°$ = symétrie centrale ;
• la figure est un reflet (effet miroir) → symétrie axiale.

1. Regarde si l'orientation a changé : si non → translation possible.
2. Si la figure a pivoté autour d'un point → rotation.
3. Si c'est un demi-tour → symétrie centrale.
4. Si on voit un effet miroir → symétrie axiale.

Deux triangles identiques : le second est le premier décalé de 5 carreaux vers la droite, sans avoir tourné.

→ c'est une translation.

Astuce simple : la figure a-t-elle tourné ? Non → translation. Oui, autour d'un point → rotation.