📐Aires et périmètres

Le périmètre d'une figure est la longueur de son contour (son tour). C'est une longueur, donc il s'exprime en cm, m, km…

L'aire est la mesure de la surface que la figure recouvre. C'est une surface, donc elle s'exprime en unités carrées : $cm^2$, $m^2$…

Deux figures peuvent avoir le même périmètre mais des aires différentes (et inversement).

1. Demande-toi : on veut le tour (périmètre) ou la surface (aire) ?
2. Choisis la bonne formule selon la question.
3. Écris l'unité : cm pour un périmètre, $cm^2$ pour une aire.

Un rectangle de 5 cm sur 3 cm.

Périmètre $= 2 \times (5 + 3) = 2 \times 8 = 16$ cm.

Aire $= 5 \times 3 = 15$ $cm^2$.

Truc pour ne pas confondre : le périmètre se mesure en cm (une seule dimension), l'aire en cm² (deux dimensions, d'où le petit 2).

Le périmètre d'un polygone est la somme de tous ses côtés.

• Carré de côté $c$ : $P = 4 \times c$.
• Rectangle de longueur $L$ et largeur $\ell$ : $P = 2 \times (L + \ell)$.
• Triangle de côtés $a$, $b$, $c$ : $P = a + b + c$.

On additionne toujours des longueurs dans la même unité.

1. Repère tous les côtés de la figure.
2. Mets-les dans la même unité.
3. Additionne toutes les longueurs (ou utilise une formule rapide).

Triangle de côtés 4 cm, 5 cm et 6 cm.

$P = 4 + 5 + 6 = 15$ cm.

Pour un carré, $P = 4 \times c$ (et non $c + c = 2c$). Pour un rectangle, n'oublie pas le « $\times 2$ » : il y a deux longueurs et deux largeurs.

Le périmètre (ou circonférence) d'un cercle de rayon $r$ vaut :

$P = 2 \times \pi \times r$

Comme le diamètre $d$ vaut $2 \times r$, on peut aussi écrire $P = \pi \times d$. On prend $\pi \approx 3{,}14$.

Rappel : le rayon $r$ est la moitié du diamètre $d$.

⭐ Pour les curieux — pourquoi ça marche ? Prends une boîte de conserve et enroule une ficelle pile autour : tu obtiens le périmètre. Mesure ensuite le diamètre. Si tu divises la ficelle par le diamètre, tu trouves environ $3{,}14$… et tu trouveras toujours ce même nombre, que la boîte soit minuscule ou énorme ! Ce nombre magique, on l'appelle $\pi$. Donc le périmètre vaut toujours $\pi \times d$, c'est-à-dire $\pi \times 2r = 2 \pi r$. La formule n'est pas tombée du ciel : $\pi$ est justement le nombre qui relie le tour d'un cercle à son diamètre.

1. Identifie le rayon $r$ (si on te donne le diamètre, divise-le par 2).
2. Applique $P = 2 \times \pi \times r$ avec $\pi \approx 3{,}14$.
3. Garde l'unité du rayon (cm reste cm).

Cercle de rayon $r = 5$ cm, avec $\pi \approx 3{,}14$.

$P = 2 \times \pi \times r = 2 \times 3{,}14 \times 5 = 31{,}4$ cm.

Ne confonds pas rayon et diamètre ! Si on te donne le diamètre, prends sa moitié pour avoir $r$, ou utilise directement $P = \pi \times d$.

Voici les formules d'aire à connaître :

Pour le triangle et le parallélogramme, la hauteur est la distance perpendiculaire à la base (pas un côté oblique).

⭐ Pour les curieux — pourquoi ça marche ? Prends un parallélogramme dessiné sur du papier et découpe le triangle qui dépasse d'un côté (le long de la hauteur). Glisse-le à l'autre bout : tu obtiens un rectangle parfait de largeur la base et de hauteur la hauteur ! Comme tu n'as rien ajouté ni enlevé, l'aire n'a pas changé : c'est donc $base \times hauteur$. Et pour le triangle ? Prends-en deux exemplaires identiques, retourne le second d'un demi-tour et colle-les : ils forment exactement ce parallélogramme. Un triangle, c'est donc la moitié d'un parallélogramme de même base et même hauteur, d'où le $\div 2$.

1. Identifie la figure et sa formule.
2. Pour un triangle ou un parallélogramme, repère bien la base et la hauteur (hauteur perpendiculaire à la base).
3. Calcule, puis pour le triangle divise par 2.

Triangle de base 8 cm et de hauteur 3 cm.

$A = \dfrac{base \times hauteur}{2} = \dfrac{8 \times 3}{2} = \dfrac{24}{2} = 12$ $cm^2$.

L'aire du triangle, c'est la moitié de celle du parallélogramme de même base et même hauteur : d'où le $\div 2$ qu'on oublie souvent !

L'aire d'un disque de rayon $r$ vaut :

$A = \pi \times r^2$

où $r^2 = r \times r$. On prend $\pi \approx 3{,}14$.

Attention au vocabulaire : le cercle est le contour (on calcule son périmètre $2 \pi r$), le disque est la surface pleine (on calcule son aire $\pi r^2$).

⭐ Pour les curieux — pourquoi ça marche ? Imagine que tu découpes un disque comme une pizza en plein de parts très fines, puis que tu les ranges en alternant pointe en haut, pointe en bas. Plus les parts sont fines, plus la rangée ressemble à un rectangle ! Sa hauteur est le rayon $r$, et sa longueur correspond à la moitié du tour du cercle, soit $\dfrac{2 \pi r}{2} = \pi r$. Son aire vaut donc $\pi r \times r = \pi r^2$. Voilà pourquoi c'est bien le rayon qui est au carré.

1. Identifie le rayon $r$ (moitié du diamètre si besoin).
2. Calcule d'abord $r^2 = r \times r$.
3. Multiplie par $\pi \approx 3{,}14$ : $A = \pi \times r^2$.

Disque de rayon $r = 2$ cm, avec $\pi \approx 3{,}14$.

$A = \pi \times r^2 = 3{,}14 \times 2^2 = 3{,}14 \times 4 = 12{,}56$ $cm^2$.

Dans $\pi r^2$, c'est le rayon qui est au carré, pas $\pi$ ! Calcule $r^2$ d'abord, puis multiplie par 3,14.

Une figure composée est formée de plusieurs figures simples accolées (ou avec un morceau retiré).

• Pour l'aire : on découpe en figures connues, puis on ajoute (ou on soustrait si un morceau est enlevé).
• Pour le périmètre : on additionne uniquement les longueurs du contour extérieur (pas les traits de découpe intérieurs !).

1. Découpe la figure en rectangles, triangles, demi-disques… connus.
2. Calcule l'aire de chaque morceau.
3. Additionne (ou soustrais le morceau manquant).

Une figure en L formée d'un rectangle 6 cm × 4 cm et d'un carré de côté 2 cm ajouté.

Aire $= 6 \times 4 + 2 \times 2 = 24 + 4 = 28$ $cm^2$.

Pour le périmètre d'une figure composée, ne compte que le tour extérieur. Les segments tracés à l'intérieur pour découper ne comptent pas !