📦Prismes et cylindres

Un prisme droit est un solide qui a :

• deux bases identiques (deux polygones superposables), parallèles et opposées ;
• des faces latérales qui sont des rectangles.

Les bases peuvent être des triangles, des carrés, des pentagones… Le nom du prisme dépend de la forme de sa base.

Pour reconnaître un prisme droit :

1. Cherche deux faces identiques et parallèles (les bases).
2. Vérifie que les autres faces (latérales) sont des rectangles.
3. Si oui, c'est un prisme droit.

Un solide à deux bases triangulaires identiques et trois faces rectangulaires est un prisme droit à base triangulaire.

Un pavé droit (boîte) est un prisme droit particulier : ses bases sont des rectangles.

Dans un solide :

• une face est une surface plane (un polygone) ;
• une arête est un segment où deux faces se rencontrent ;
• un sommet est un point où plusieurs arêtes se rejoignent.

Pour un prisme droit dont la base est un polygone à $n$ côtés :

• faces : $n + 2$ (les $n$ faces latérales $+$ les $2$ bases) ;
• sommets : $2n$ ($n$ par base) ;
• arêtes : $3n$ ($n$ sur chaque base $+$ $n$ arêtes verticales).

⭐ Pour les curieux — pourquoi ça marche ? Imagine que tu poses un polygone à $n$ côtés au sol, puis que tu le soulèves tout droit pour fabriquer le prisme : tu as la copie du bas et celle du haut, ça fait déjà $2$ bases, et chaque côté du sol balaie un rectangle en montant, donc $n$ faces latérales : au total $n+2$ faces. Chaque base a $n$ coins, et il y a deux bases, d'où $2n$ sommets. Pour les arêtes, compte les $n$ bords du bas, les $n$ bords du haut, plus le « montant » vertical qui relie chaque coin du bas à son coin du haut, soit encore $n$ : en tout $n+n+n = 3n$ arêtes. Vérifie sur un dé (base carrée, $n=4$) : $6$ faces, $8$ sommets, $12$ arêtes !

Pour compter dans un prisme droit, repère d'abord le nombre $n$ de côtés de la base, puis :

1. faces $= n + 2$ ;
2. sommets $= 2 \times n$ ;
3. arêtes $= 3 \times n$.

Prisme droit à base triangulaire : $n = 3$.

Faces $= 3 + 2 = 5$ ; sommets $= 2 \times 3 = 6$ ; arêtes $= 3 \times 3 = 9$.

Pour un prisme à base à $n$ côtés : pense « $n+2$ faces, $2n$ sommets, $3n$ arêtes ». Vérifie avec un dé (cube : $n=4$ → $6$ faces, $8$ sommets, $12$ arêtes).

Un cylindre de révolution est le solide obtenu en faisant tourner un rectangle autour de l'un de ses côtés.

Il possède :

• deux bases qui sont des disques identiques et parallèles ;
• une surface latérale courbe (qui se déroule en un rectangle).

Pour reconnaître un cylindre de révolution :

1. Cherche deux disques identiques en haut et en bas.
2. Vérifie que la surface latérale est courbe et « roule ».
3. Si oui, c'est un cylindre de révolution.

Une boîte de conserve ou un rouleau sont des cylindres de révolution : deux disques (le couvercle et le fond) reliés par une paroi courbe.

Un cylindre n'a ni sommet ni arête « droite » comme un prisme : ses bords sont des cercles.

Un patron est le dessin à plat qui, une fois découpé et plié, reconstitue le solide.

Le patron d'un prisme droit est formé :

• des deux bases (les deux polygones identiques) ;
• des faces latérales rectangulaires, souvent alignées en une bande.

Pour reconnaître/dessiner le patron d'un prisme droit :

1. Dessine la bande des faces latérales : autant de rectangles que de côtés de la base.
2. Ajoute les deux bases (les polygones), une de chaque côté de la bande.
3. Vérifie que les longueurs collées sont égales (sinon ça ne se plie pas).

Le patron d'un prisme droit à base triangulaire comporte 3 rectangles (faces latérales) et 2 triangles (les bases), soit $5$ polygones au total, ce qui correspond aux $5$ faces du prisme.

Le nombre de polygones d'un patron est égal au nombre de faces du solide. Pour un prisme à base à $n$ côtés : $n + 2$ polygones.

Le patron d'un cylindre de révolution est formé :

• de deux disques (les bases) ;
• d'un rectangle (la surface latérale déroulée).

Le côté du rectangle qui s'enroule autour du disque a pour longueur le périmètre du disque (la circonférence).

⭐ Pour les curieux — pourquoi ça marche ? Prends une boîte de conserve et décolle son étiquette : à plat, c'est un rectangle parfait. Sa largeur, c'est tout simplement le chemin parcouru pour faire un tour complet autour du disque, c'est-à-dire le périmètre du cercle, $2\times\pi\times r$. Si le rectangle était un peu plus court, il ne ferait pas le tour ; un peu plus long, il se chevaucherait : c'est pour ça que sa largeur doit valoir exactement $2\pi r$.

Pour le patron d'un cylindre :

1. Dessine le rectangle : sa hauteur est la hauteur du cylindre.
2. La largeur du rectangle (le côté qui s'enroule) est égale au périmètre du cercle de base : $P = 2 \times \pi \times r$.
3. Ajoute les deux disques de rayon $r$.

Cylindre de rayon de base $r = 3$ cm. La largeur du rectangle (le côté qui s'enroule) vaut le périmètre du disque : $P = 2 \times \pi \times 3 = 6\pi \approx 18{,}85$ cm.

Le rectangle d'un patron de cylindre « s'enroule » : sa largeur doit exactement valoir le tour du disque, sinon ça ne ferme pas.