📐Droites remarquables du triangle

La médiatrice d'un segment $[AB]$ est la droite qui :

• passe par le milieu de $[AB]$ ;
• est perpendiculaire à $[AB]$.

C'est donc la « perpendiculaire au milieu » du segment.

Pour tracer la médiatrice de $[AB]$ à la règle et au compas :

1. Pointe le compas en $A$ avec un écartement supérieur à la moitié de $AB$ : trace deux arcs (un de chaque côté).
2. Sans changer l'écartement, pointe en $B$ : trace deux nouveaux arcs.
3. Les arcs se coupent en deux points ; la droite passant par ces deux points est la médiatrice.

Pour $[AB]$ avec $AB = 6$ cm, on prend un écartement de compas supérieur à $3$ cm (la moitié de $6$), puis on trace les arcs depuis $A$ et $B$.

Deux mots-clés pour la médiatrice : milieu + perpendiculaire. Si l'un des deux manque, ce n'est pas la médiatrice.

Propriété. Un point situé sur la médiatrice de $[AB]$ est à égale distance de $A$ et de $B$.

Autrement dit : si $M$ appartient à la médiatrice de $[AB]$, alors $MA = MB$.

Réciproque. Si un point $M$ vérifie $MA = MB$, alors $M$ est sur la médiatrice de $[AB]$. La médiatrice est donc l'ensemble des points équidistants de $A$ et de $B$.

⭐ Pour les curieux — pourquoi ça marche ? Imagine que tu plies ta feuille exactement le long de la médiatrice de $[AB]$. Comme cette droite passe par le milieu de $[AB]$ et lui est perpendiculaire, le pli fait tomber $A$ pile sur $B$ ! Du coup, pour un point $M$ posé sur le pli (donc qui ne bouge pas quand on plie), le segment $[MA]$ se replie exactement sur $[MB]$ : ils ont forcément la même longueur, c'est-à-dire $MA = MB$. La médiatrice est donc bien la ligne des points à égale distance de $A$ et de $B$.

Pour utiliser l'équidistance :

1. Si on te dit que $M$ est sur la médiatrice de $[AB]$ → tu peux écrire $MA = MB$.
2. Inversement, si $MA = MB$ → $M$ est sur la médiatrice de $[AB]$.

$M$ est sur la médiatrice de $[AB]$ et $MA = 5$ cm.

Alors $MB = MA = 5$ cm, par la propriété d'équidistance.

« Médiatrice » et « équidistance » vont toujours ensemble : sur la médiatrice, on est aussi loin de $A$ que de $B$.

Une hauteur d'un triangle est une droite qui passe par un sommet et qui est perpendiculaire au côté opposé (à ce sommet).

Un triangle possède trois hauteurs (une par sommet).

Pour tracer la hauteur issue du sommet $A$ dans un triangle $ABC$ :

1. Repère le côté opposé à $A$ : c'est $[BC]$.
2. Avec l'équerre, trace la droite passant par $A$ et perpendiculaire à $(BC)$.
3. Cette droite est la hauteur issue de $A$.

Dans $ABC$, la hauteur issue de $A$ est perpendiculaire à $[BC]$ et passe par $A$. De même, la hauteur issue de $B$ est perpendiculaire à $[AC]$.

Hauteur = sommet + perpendiculaire au côté d'en face. Elle peut parfois tomber « en dehors » du triangle (si un angle est obtus).

Une médiane d'un triangle est une droite (ou un segment) qui relie un sommet au milieu du côté opposé.

Un triangle possède trois médianes (une par sommet).

Pour tracer la médiane issue de $A$ dans un triangle $ABC$ :

1. Repère le côté opposé à $A$ : $[BC]$.
2. Place le milieu $M$ de $[BC]$.
3. Trace le segment $[AM]$ : c'est la médiane issue de $A$.

Dans $ABC$, soit $M$ le milieu de $[BC]$. Le segment $[AM]$ est la médiane issue de $A$.

Ne confonds pas médiane (relie un sommet au milieu du côté opposé) et médiatrice (perpendiculaire au milieu d'un segment).

La bissectrice d'un angle est la demi-droite qui partage cet angle en deux angles égaux.

Elle coupe l'angle « en son milieu » : chaque moitié mesure la moitié de l'angle de départ.

Pour trouver la mesure de chaque demi-angle :

1. Repère la mesure de l'angle complet.
2. La bissectrice le partage en deux : chaque moitié vaut $\dfrac{\text{angle}}{2}$.

La bissectrice d'un angle de $80°$ le partage en deux angles de $\dfrac{80°}{2} = 40°$ chacun.

Vérification : $40° + 40° = 80°$. ✓

« Bi-sectrice » → coupe en deux parts égales. Pense à « bissecter » = couper en deux.