🔺Triangles : angles et construction

Propriété fondamentale. Dans tout triangle, la somme des mesures des trois angles est égale à 180°.

Si les angles d'un triangle $ABC$ sont $\widehat{A}$, $\widehat{B}$ et $\widehat{C}$, alors :

$\widehat{A} + \widehat{B} + \widehat{C} = 180°$

⭐ Pour les curieux — pourquoi ça marche ? Découpe un triangle en papier, puis déchire ses trois coins. Place-les côte à côte, leurs pointes se touchant en un même point : surprise, les trois angles se rangent pile le long d'une ligne droite, sans trou ni chevauchement ! Or un angle plat (une ligne droite) mesure exactement $180°$. Les trois angles réunis font donc toujours $180°$, et ça marche quel que soit le triangle que tu découpes.

Pour calculer le troisième angle quand on connaît les deux autres :

1. Additionne les deux angles connus.
2. Soustrais le résultat de $180°$ : $\text{3e angle} = 180° - (\text{angle 1} + \text{angle 2}).$

Dans $ABC$, $\widehat{A} = 60°$ et $\widehat{B} = 80°$.

$\widehat{C} = 180° - (60° + 80°) = 180° - 140° = 40°$.

Vérification : $60 + 80 + 40 = 180°$. ✓

Pense toujours à vérifier : la somme des trois angles doit redonner exactement $180°$.

Trois longueurs ne forment pas toujours un triangle !

Inégalité triangulaire. Pour qu'un triangle existe, il faut que la longueur du plus grand côté soit inférieure à la somme des deux autres.

Si le plus grand côté vaut $c$ et les deux autres $a$ et $b$, le triangle existe lorsque : $c < a + b$.

Si $c = a + b$, les trois points sont alignés (triangle « aplati »). Si $c > a + b$, le triangle est impossible.

⭐ Pour les curieux — pourquoi ça marche ? Imagine que tu veuilles aller du point $B$ au point $C$. Le chemin le plus court, c'est tout droit : le segment $[BC]$. Si tu passes par le sommet $A$, tu fais un détour : tu parcours $BA$ puis $AC$, donc forcément plus long que la ligne droite. C'est pour ça que $BA + AC > BC$ : la somme de deux côtés dépasse toujours le troisième. Et si $A$ se place pile entre $B$ et $C$, sur le segment $[BC]$, le détour n'en est plus un : $BA + AC = BC$, le triangle est aplati.

Pour savoir si trois longueurs forment un triangle :

1. Repère la plus grande longueur.
2. Additionne les deux autres.
3. Compare : si la plus grande $<$ la somme des deux autres → le triangle existe ; sinon il n'existe pas (ou est aplati).

Peut-on construire un triangle de côtés $3$ cm, $4$ cm et $9$ cm ?

Plus grand côté : $9$. Somme des deux autres : $3 + 4 = 7$.

Comme $9 > 7$, c'est impossible : un tel triangle n'existe pas.

Image : pour fermer un triangle, les deux petits côtés doivent réussir à « se rejoindre » par-dessus le grand. S'ils sont trop courts, impossible !

On peut construire un triangle si on connaît :

• ses trois côtés (au compas) ;
• ou deux côtés et l'angle entre eux (au rapporteur) ;
• ou un côté et les deux angles à ses extrémités.

Pour construire un triangle $ABC$ connaissant ses trois côtés :

1. Vérifie d'abord l'inégalité triangulaire.
2. Trace un côté, par exemple $[BC]$, à la règle.
3. Pointe le compas en $B$ avec l'écartement $BA$ : trace un arc.
4. Pointe le compas en $C$ avec l'écartement $CA$ : trace un second arc.
5. Le point d'intersection des deux arcs est $A$. Relie $A$ à $B$ et à $C$.

Construire $ABC$ avec $BC = 5$ cm, $BA = 4$ cm, $CA = 3$ cm.

Vérif : plus grand côté $5 < 4 + 3 = 7$. ✓ Le triangle existe. On trace $[BC]$ de $5$ cm, un arc de $4$ cm depuis $B$, un arc de $3$ cm depuis $C$ : leur intersection donne $A$.

Toujours vérifier l'inégalité triangulaire avant de construire : inutile de chercher à dessiner un triangle qui n'existe pas.

Un triangle isocèle a deux côtés de même longueur. Les deux angles à la base (opposés aux côtés égaux) ont alors la même mesure.

Un triangle équilatéral a ses trois côtés égaux. Ses trois angles sont égaux et mesurent chacun $\dfrac{180°}{3} = 60°$.

Dans un triangle isocèle, pour trouver les angles :

1. Si tu connais l'angle principal (au sommet), les deux angles de base valent chacun $\dfrac{180° - \text{angle au sommet}}{2}$.
2. Si tu connais un angle de base, l'autre angle de base est égal, et l'angle au sommet vaut $180°$ moins les deux angles de base.

Triangle isocèle de sommet principal $A$ avec $\widehat{A} = 40°$.

Les deux angles de base sont égaux : $\widehat{B} = \widehat{C} = \dfrac{180° - 40°}{2} = \dfrac{140°}{2} = 70°$.

Vérification : $40 + 70 + 70 = 180°$. ✓

Équilatéral = un cas particulier d'isocèle, avec tous les angles à $60°$. Si on te dit « équilatéral », chaque angle vaut $60°$, point.

Un triangle rectangle a un angle droit (de $90°$).

Comme la somme des trois angles vaut $180°$, les deux autres angles (les angles aigus) ont pour somme $180° - 90° = 90°$ : ils sont complémentaires.

Un triangle peut être à la fois rectangle et isocèle : ses deux angles aigus valent alors chacun $45°$.

Dans un triangle rectangle, pour trouver le second angle aigu :

1. Pars de l'angle droit : $90°$.
2. Le second angle aigu vaut $90°$ moins l'angle aigu connu : $\text{angle aigu manquant} = 90° - \text{angle aigu connu}.$

Triangle rectangle en $A$ avec $\widehat{B} = 30°$.

$\widehat{C} = 90° - 30° = 60°$.

Vérification : $90 + 30 + 60 = 180°$. ✓

Dans un triangle rectangle, les deux petits angles font $90°$ à eux deux : si l'un grandit, l'autre rapetisse d'autant.