▱Parallélogrammes

Un parallélogramme est un quadrilatère dont les côtés opposés sont parallèles deux à deux.

Dans un parallélogramme $ABCD$ (sommets nommés dans l'ordre), $[AB]$ est parallèle à $[DC]$, et $[AD]$ est parallèle à $[BC]$.

Pour vérifier qu'un quadrilatère est un parallélogramme par définition :

1. Vérifie que les deux paires de côtés opposés sont parallèles.
2. Si oui, c'est un parallélogramme.

Dans $ABCD$, si $(AB) \parallel (DC)$ et $(AD) \parallel (BC)$, alors $ABCD$ est un parallélogramme.

Attention à l'ordre des sommets : dans $ABCD$, les côtés opposés sont $[AB]$ & $[DC]$ d'une part, $[AD]$ & $[BC]$ d'autre part.

Dans un parallélogramme :

• les côtés opposés ont la même longueur ;
• les angles opposés sont égaux ;
• deux angles consécutifs (côte à côte) sont supplémentaires (leur somme vaut $180°$).

Pour trouver un angle d'un parallélogramme :

1. L'angle opposé est égal à l'angle connu.
2. Un angle consécutif vaut $180°$ moins l'angle connu.

Dans le parallélogramme $ABCD$, $\widehat{A} = 70°$.

Angle opposé : $\widehat{C} = 70°$. Angle consécutif : $\widehat{B} = 180° - 70° = 110°$ (et $\widehat{D} = 110°$).

Vérification : $70 + 110 + 70 + 110 = 360°$ (somme des angles d'un quadrilatère). ✓

Angles opposés = égaux ; angles voisins = font $180°$ ensemble. La somme des 4 angles d'un quadrilatère vaut toujours $360°$.

Propriété clé. Dans un parallélogramme, les diagonales se coupent en leur milieu.

Autrement dit, le point d'intersection des diagonales est le milieu de chacune d'elles. C'est aussi le centre de symétrie du parallélogramme.

⭐ Pour les curieux — pourquoi ça marche ? Souviens-toi du demi-tour (symétrie centrale) ! Appelle $O$ le milieu de la diagonale $[AC]$, plante une punaise en $O$ et fais faire à la figure un demi-tour autour de $O$. Comme les côtés opposés sont parallèles et de même longueur, le parallélogramme retombe exactement sur lui-même : $A$ vient se poser sur $C$, et $B$ sur $D$. Dans un demi-tour, un point et son image sont à égale distance du centre ; puisque $B$ et $D$ sont images l'un de l'autre, on a $OB = OD$, donc $O$ est aussi le milieu de $[BD]$. Les deux diagonales se coupent donc en leur milieu commun $O$, qui est par la même occasion le centre de symétrie de la figure.

Pour utiliser cette propriété, soit $O$ le point d'intersection des diagonales $[AC]$ et $[BD]$ :

1. $O$ est le milieu de $[AC]$, donc $OA = OC$.
2. $O$ est le milieu de $[BD]$, donc $OB = OD$.

Dans le parallélogramme $ABCD$, les diagonales se coupent en $O$ avec $AC = 8$ cm. Alors $OA = OC = \dfrac{8}{2} = 4$ cm.

« Diagonales qui se coupent en leur milieu » est LE critère le plus utilisé pour reconnaître un parallélogramme.

Un quadrilatère non croisé est un parallélogramme si l'une de ces conditions est vraie :

• ses côtés opposés sont parallèles deux à deux ; ou
• ses côtés opposés ont la même longueur deux à deux ; ou
• ses diagonales se coupent en leur milieu ; ou
• deux côtés opposés sont à la fois parallèles et de même longueur.

Pour justifier qu'un quadrilatère est un parallélogramme :

1. Choisis une seule des propriétés ci-dessus (la plus facile avec les données de l'énoncé).
2. Montre qu'elle est vérifiée.
3. Conclus : « donc c'est un parallélogramme ».

$ABCD$ est un quadrilatère non croisé tel que $[AC]$ et $[BD]$ se coupent en leur milieu $O$.

Les diagonales se coupent en leur milieu, donc $ABCD$ est un parallélogramme.

Pas besoin de TOUT prouver : une seule propriété caractéristique suffit pour conclure.

Trois parallélogrammes particuliers :

• le rectangle : un parallélogramme avec quatre angles droits (ses diagonales sont de même longueur) ;
• le losange : un parallélogramme avec quatre côtés égaux (ses diagonales sont perpendiculaires) ;
• le carré : à la fois rectangle et losange (quatre angles droits et quatre côtés égaux).

Pour reconnaître un parallélogramme particulier :

1. Tous les angles droits ? → c'est (au moins) un rectangle.
2. Tous les côtés égaux ? → c'est (au moins) un losange.
3. Les deux à la fois ? → c'est un carré.

Un parallélogramme dont les quatre côtés mesurent $5$ cm est un losange.

Si, en plus, il a un angle droit, alors c'est un carré (tous ses angles sont alors droits).

Le carré est le « champion » : il possède toutes les propriétés du rectangle ET du losange.