➗Calculs avec les fractions

Simplifier une fraction, c'est l'écrire avec des nombres plus petits sans changer sa valeur. On divise le numérateur et le dénominateur par un même nombre (différent de $0$).

$\dfrac{a}{b} = \dfrac{a \div k}{b \div k}$

Une fraction est irréductible quand on ne peut plus la simplifier.

⭐ Pour les curieux — pourquoi ça marche ? Imagine une tarte coupée en $18$ parts, dont tu prends $12$. Maintenant regroupe les parts par paquets de $6$ : la tarte entière contient $3$ gros paquets, et tes $12$ parts en forment exactement $2$. Tu as donc pris $\dfrac{2}{3}$ de la tarte sans rien ajouter ni enlever : c'est toujours la même quantité de tarte ! Diviser le numérateur ET le dénominateur par le même nombre, c'est juste regrouper les parts, donc la valeur ne change pas.

1. Cherche un nombre qui divise à la fois le numérateur et le dénominateur.
2. Divise les deux par ce nombre.
3. Recommence tant que c'est possible (ou divise directement par leur plus grand diviseur commun).

Simplifie $\dfrac{12}{18}$.

$12$ et $18$ sont tous deux divisibles par $6$ : $\dfrac{12}{18} = \dfrac{12 \div 6}{18 \div 6} = \dfrac{2}{3}$.

$\dfrac{2}{3}$ est irréductible.

On peut simplifier en plusieurs étapes : $\dfrac{12}{18} = \dfrac{6}{9} = \dfrac{2}{3}$. Le résultat final est le même, prends ton temps !

Pour comparer deux fractions :

• Même dénominateur : la plus grande est celle qui a le plus grand numérateur. $\dfrac{3}{7} < \dfrac{5}{7}$.
• Dénominateurs différents : on réduit au même dénominateur, puis on compare les numérateurs.

Rappel utile : une fraction est égale à $1$ quand son numérateur égale son dénominateur ($\dfrac{4}{4} = 1$).

1. Mets les fractions au même dénominateur.
2. Compare les numérateurs.
3. La fraction qui a le plus grand numérateur est la plus grande.

Compare $\dfrac{2}{3}$ et $\dfrac{3}{4}$.

Dénominateur commun $12$ : $\dfrac{2}{3} = \dfrac{8}{12}$ et $\dfrac{3}{4} = \dfrac{9}{12}$.

Comme $8 < 9$, on a $\dfrac{2}{3} < \dfrac{3}{4}$.

Quand les numérateurs sont égaux, c'est la fraction au plus petit dénominateur qui est la plus grande : $\dfrac{1}{3} > \dfrac{1}{5}$ (un tiers, c'est plus gros qu'un cinquième).

Quand deux fractions ont le même dénominateur, on additionne (ou soustrait) les numérateurs et on garde le dénominateur :

$\dfrac{a}{c} + \dfrac{b}{c} = \dfrac{a+b}{c} \qquad \dfrac{a}{c} - \dfrac{b}{c} = \dfrac{a-b}{c}$

On simplifie le résultat si c'est possible.

⭐ Pour les curieux — pourquoi ça marche ? Quand le dénominateur est le même, toutes les parts ont la même taille : ici des « neuvièmes ». Avoir $\dfrac{2}{9}$ puis ajouter $\dfrac{5}{9}$, c'est avoir $2$ neuvièmes puis $5$ neuvièmes : en tout $2 + 5 = 7$ neuvièmes, soit $\dfrac{7}{9}$. La taille des parts ne change pas, donc le dénominateur reste $9$. C'est pour ça qu'on n'additionne jamais les dénominateurs : additionner $9 + 9$ reviendrait à dire que les parts sont devenues deux fois plus nombreuses, alors qu'on a seulement compté combien on en a.

1. Vérifie que les dénominateurs sont identiques.
2. Additionne (ou soustrais) les numérateurs.
3. Garde le dénominateur commun, puis simplifie.

Calcule $\dfrac{2}{9} + \dfrac{5}{9}$.

Même dénominateur : $\dfrac{2 + 5}{9} = \dfrac{7}{9}$.

On n'additionne jamais les dénominateurs ! $\dfrac{2}{9} + \dfrac{5}{9} = \dfrac{7}{9}$ et surtout pas $\dfrac{7}{18}$.

Quand un dénominateur est un multiple de l'autre, on transforme la fraction « la plus simple » pour obtenir le même dénominateur, puis on additionne.

Par exemple $\dfrac{1}{2}$ et $\dfrac{1}{6}$ : comme $6 = 2 \times 3$, on écrit $\dfrac{1}{2} = \dfrac{3}{6}$.

1. Repère le plus grand dénominateur : ce sera le dénominateur commun.
2. Multiplie numérateur et dénominateur de l'autre fraction pour l'atteindre.
3. Additionne les numérateurs, garde le dénominateur commun, puis simplifie.

Calcule $\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{6}$.

$6$ est un multiple de $2$ : $\dfrac{1}{2} = \dfrac{1 \times 3}{2 \times 3} = \dfrac{3}{6}$. Puis $\dfrac{3}{6} + \dfrac{1}{6} = \dfrac{4}{6} = \dfrac{2}{3}$.

Pense à simplifier le résultat à la fin : $\dfrac{4}{6}$ se simplifie en $\dfrac{2}{3}$ (on divise par $2$).

Pour multiplier deux fractions, on multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux :

$\dfrac{a}{b} \times \dfrac{c}{d} = \dfrac{a \times c}{b \times d}$

Pas besoin de dénominateur commun pour multiplier !

Pour une fraction multipliée par un entier : $5 \times \dfrac{2}{3} = \dfrac{5 \times 2}{3} = \dfrac{10}{3}$.

⭐ Pour les curieux — pourquoi ça marche ? Prends un carré qui vaut $1$. Pour calculer $\dfrac{2}{3} \times \dfrac{5}{7}$, coupe-le en $3$ bandes verticales et garde-en $2$, puis en $7$ bandes horizontales et garde-en $5$. Le quadrillage découpe le carré en $3 \times 7 = 21$ petits rectangles identiques, et la zone gardée (large de $2$ colonnes, haute de $5$ lignes) en contient $2 \times 5 = 10$. La réponse est donc $\dfrac{10}{21}$ : on voit apparaître les numérateurs qui se multiplient (la zone gardée) et les dénominateurs qui se multiplient (le nombre total de cases).

1. Multiplie les numérateurs entre eux.
2. Multiplie les dénominateurs entre eux.
3. Simplifie le résultat (ou simplifie avant de multiplier, c'est plus rapide).

Calcule $\dfrac{2}{3} \times \dfrac{5}{7}$.

$\dfrac{2 \times 5}{3 \times 7} = \dfrac{10}{21}$.

Quand c'est possible, simplifie avant de multiplier : $\dfrac{3}{4} \times \dfrac{2}{9}$, on simplifie le $3$ avec le $9$ et le $2$ avec le $4$ $\to \dfrac{1}{2} \times \dfrac{1}{3} = \dfrac{1}{6}$.

Prendre une fraction d'une quantité, c'est multiplier cette quantité par la fraction.

« Les $\dfrac{3}{4}$ de $20$ », c'est $\dfrac{3}{4} \times 20$.

Le mot « de » se traduit par une multiplication.

1. Traduis « fraction de quantité » par une multiplication.
2. Multiplie la quantité par le numérateur, puis divise par le dénominateur (ou l'inverse, au choix).
3. Donne le résultat (souvent un entier).

Calcule les $\dfrac{3}{4}$ de $20$.

$\dfrac{3}{4} \times 20 = \dfrac{3 \times 20}{4} = \dfrac{60}{4} = 15$.

(On peut aussi faire $20 \div 4 = 5$ puis $5 \times 3 = 15$.)

Quand tu peux, divise d'abord par le dénominateur : pour $\dfrac{3}{4}$ de $20$, fais $20 \div 4 = 5$ puis $\times 3 = 15$. Les nombres restent petits !