🧮Priorités et expressions littérales

Dans un calcul à plusieurs opérations, on respecte un ordre de priorité :

1. D'abord ce qui est entre parenthèses.
2. Ensuite les puissances.
3. Puis les multiplications et divisions, de gauche à droite.
4. Enfin les additions et soustractions, de gauche à droite.

La multiplication et la division sont donc prioritaires sur l'addition et la soustraction.

⭐ Pour les curieux — pourquoi ça marche ? Multiplier, c'est additionner plusieurs fois le même nombre : $4 \times 5$ veut dire $4 + 4 + 4 + 4 + 4$. Du coup, $3 + 4 \times 5$ signifie en réalité $3 + (4 + 4 + 4 + 4 + 4)$ : le « paquet » de cinq $4$ forme un seul gros morceau qu'on doit fabriquer avant de l'ajouter au $3$ tout seul. C'est pour ça que la multiplication se calcule avant l'addition : elle est juste un raccourci pour une addition déjà toute prête. Si on faisait $3 + 4$ d'abord, on casserait le paquet et on changerait complètement le sens du calcul.

1. Repère s'il y a des parenthèses : calcule-les d'abord.
2. Effectue les multiplications et divisions (de gauche à droite).
3. Termine par les additions et soustractions (de gauche à droite).

Calcule $3 + 4 \times 5$.

La multiplication est prioritaire : $4 \times 5 = 20$. Puis $3 + 20 = 23$.

Résultat : $23$ (et non $35$).

Piège fréquent : dans $3 + 4 \times 5$, on ne calcule pas $3 + 4$ en premier ! La multiplication passe avant l'addition : le résultat est $23$, pas $35$.

Les parenthèses servent à changer l'ordre des opérations : ce qui est entre parenthèses se calcule en premier.

• Sans parenthèses : $3 + 4 \times 5 = 23$.
• Avec parenthèses : $(3 + 4) \times 5 = 7 \times 5 = 35$.

Quand il y a plusieurs parenthèses, on commence par la plus intérieure.

1. Repère les parenthèses.
2. Calcule d'abord l'intérieur de chaque parenthèse.
3. Continue avec les priorités habituelles (puissances, $\times \div$, puis $+ -$).

Calcule $20 - (3 + 5) \times 2$.

Parenthèse d'abord : $3 + 5 = 8$. Multiplication ensuite : $8 \times 2 = 16$. Soustraction enfin : $20 - 16 = 4$.

Résultat : $4$.

Une paire de parenthèses peut tout changer ! $(3 + 4) \times 5 = 35$ alors que $3 + 4 \times 5 = 23$. Lis bien l'expression.

Une expression littérale contient des lettres (qui remplacent des nombres) et des nombres.

On allège l'écriture :

• $a \times b$ s'écrit $ab$ ; $3 \times x$ s'écrit $3x$.
• $x \times x$ s'écrit $x^2$.
• $1 \times x$ s'écrit simplement $x$.

Un terme est un morceau séparé par $+$ ou $-$. Dans $3x + 5$, les termes sont $3x$ et $5$ ; le coefficient de $3x$ est $3$.

Pour simplifier l'écriture d'un produit :

1. Supprime le signe $\times$ entre un nombre et une lettre (ou entre deux lettres).
2. Écris le nombre devant la lettre : $x \times 4$ s'écrit $4x$.
3. Regroupe les lettres répétées en puissances : $a \times a = a^2$.

Écris plus simplement $4 \times a + 2 \times b$.

$4 \times a = 4a$ et $2 \times b = 2b$.

L'expression s'écrit $4a + 2b$.

On écrit toujours le nombre avant la lettre : on note $3x$, jamais $x3$. Et $x$ tout seul signifie $1x$ (coefficient $1$).

Réduire, c'est regrouper les termes semblables pour écrire l'expression le plus simplement possible.

Des termes sont semblables s'ils ont la même partie littérale (par exemple $3x$ et $5x$, ou bien $4$ et $7$).

On additionne (ou soustrait) les coefficients des termes semblables.

⭐ Pour les curieux — pourquoi ça marche ? Pense à $x$ comme à un objet, par exemple une boîte. Alors $5x$ veut dire « $5$ boîtes » et $2x$ « $2$ boîtes » : ensemble, ça fait bien $7$ boîtes, soit $7x$ — on a juste compté des objets identiques. Mais dans $7x + 3$, on a $7$ boîtes d'un côté et $3$ billes toutes seules de l'autre : ce ne sont pas les mêmes objets, on ne peut pas les fondre en un seul nombre. C'est exactement comme « $5$ pommes $+$ $2$ pommes $= 7$ pommes », alors que « $7$ pommes $+ 3$ oranges » ne se résume à rien de plus court.

1. Repère les termes en $x$ et, à part, les nombres seuls.
2. Additionne les coefficients des termes en $x$.
3. Additionne les nombres entre eux, puis réécris l'expression réduite.

Réduis $5x + 3 + 2x$.

Termes en $x$ : $5x + 2x = 7x$. Nombre seul : $3$.

Expression réduite : $7x + 3$.

On ne peut pas additionner $7x$ et $3$ : ils ne sont pas semblables. $7x + 3$ est déjà réduit, on s'arrête là.

Substituer, c'est remplacer une lettre par une valeur numérique, puis effectuer le calcul en respectant les priorités.

On dit aussi « calculer la valeur de l'expression » pour une valeur donnée de la lettre.

1. Réécris l'expression en remplaçant la lettre par sa valeur, entre parenthèses.
2. Respecte les priorités : puissances, puis $\times$ et $\div$, puis $+$ et $-$.
3. Effectue le calcul jusqu'au résultat.

Calcule $2x + 3$ pour $x = 4$.

$2 \times 4 + 3$. Multiplication d'abord : $2 \times 4 = 8$. Puis $8 + 3 = 11$.

Résultat : $11$.

Mets la valeur entre parenthèses, surtout si elle est négative : pour $x = -2$, $5x = 5 \times (-2) = -10$. Cela évite les erreurs de signe.

La distributivité simple sert à supprimer une parenthèse multipliée par un facteur :

$k(a + b) = k \times a + k \times b = ka + kb$

Le facteur $k$ est distribué à chaque terme de la parenthèse. Cela marche aussi avec une soustraction : $k(a - b) = ka - kb$.

⭐ Pour les curieux — pourquoi ça marche ? Dessine un rectangle de hauteur $k$ et de longueur $a + b$. Son aire est $k \times (a+b)$. Maintenant coupe-le en deux d'un trait vertical : à gauche un rectangle de longueur $a$ (aire $k \times a$), à droite un rectangle de longueur $b$ (aire $k \times b$). Comme les deux morceaux remplissent exactement le grand rectangle, leurs aires s'additionnent : $k(a+b) = ka + kb$. Avec $k=3$, $a=2x$, $b=5$, tu retrouves bien $3(2x+5) = 6x + 15$ : la même surface, comptée d'un coup ou en deux bouts.

1. Multiplie le facteur de devant par le premier terme de la parenthèse.
2. Multiplie-le par le deuxième terme (attention au signe).
3. Écris la somme des deux produits.

Développe $3(2x + 5)$.

$3 \times 2x = 6x$ et $3 \times 5 = 15$.

Donc $3(2x + 5) = 6x + 15$.

Le facteur multiplie tous les termes de la parenthèse, pas seulement le premier ! $2(x + 4) = 2x + 8$, et non $2x + 4$.