📈Proportionnalité et pourcentages

Deux grandeurs sont proportionnelles quand on passe de l'une à l'autre en multipliant toujours par le même nombre, appelé coefficient de proportionnalité $k$.

Dans un tableau de proportionnalité, chaque valeur de la 2e ligne s'obtient en multipliant la valeur de la 1re ligne par ce coefficient $k$.

1. Pour chaque colonne complète, calcule le rapport $\dfrac{\text{valeur du bas}}{\text{valeur du haut}}$.
2. Si tous les rapports sont égaux, c'est proportionnel : ce rapport est $k$.
3. Si un seul rapport diffère, ce n'est pas proportionnel.
4. Pour compléter, multiplie chaque valeur du haut par $k$.

Rapports : $\dfrac{6}{2} = 3$ et $\dfrac{15}{5} = 3$ : ils sont égaux, c'est proportionnel.

Coefficient $k = 3$, donc le prix pour $8$ kg : $8 \times 3 = 24$ €.

Pour vérifier la proportionnalité : tous les rapports $\dfrac{\text{bas}}{\text{haut}}$ doivent être égaux.

Quand il manque une seule valeur dans un tableau de proportionnalité, on la trouve grâce au produit en croix.

Si le tableau est $\begin{array}{c|c} a & b \\ \hline c & x \end{array}$, alors $a \times x = b \times c$, donc $x = \dfrac{b \times c}{a}$.

⭐ Pour les curieux — pourquoi ça marche ? Le produit en croix n'est pas une formule magique : il vient du coefficient $k$. Comme le tableau est proportionnel, on descend dans chaque colonne en multipliant par le même $k$ : donc $c = k \times a$ et $x = k \times b$. Regarde alors les deux produits en diagonale : $a \times x = a \times (k \times b) = k \times a \times b$, et $b \times c = b \times (k \times a) = k \times a \times b$. Ce sont exactement les mêmes ! Voilà pourquoi $a \times x = b \times c$ : les deux diagonales cachent le même produit $k \times a \times b$.

1. Repère la valeur manquante $x$.
2. Multiplie les deux nombres situés en diagonale de $x$.
3. Divise ce produit par le troisième nombre connu.
4. Écris le résultat avec son unité.

$5$ stylos coûtent $4$ €. Combien coûtent $12$ stylos ?

$x = \dfrac{12 \times 4}{5} = \dfrac{48}{5} = 9{,}6$ €.

La valeur trouvée s'appelle la quatrième proportionnelle. Place toujours les mêmes grandeurs sur la même ligne !

La règle de trois est une autre façon d'utiliser la proportionnalité.

On ramène d'abord à une seule unité (le prix de $1$, la durée pour $1$…), puis on multiplie pour obtenir la quantité voulue.

1. Calcule la valeur pour $1$ unité (on divise).
2. Multiplie cette valeur par la quantité demandée.
3. Écris le résultat avec son unité.

$6$ croissants coûtent $5{,}40$ €. Combien coûtent $4$ croissants ?

Prix de $1$ croissant : $\dfrac{5{,}40}{6} = 0{,}90$ €.

Prix de $4$ croissants : $0{,}90 \times 4 = 3{,}60$ €.

« Pour $1$, puis pour ce que je veux » : c'est le réflexe de la règle de trois.

Prendre $t\,\%$ d'une quantité, c'est la multiplier par $\dfrac{t}{100}$.

$t\,\% \text{ de } N = \dfrac{t}{100} \times N$

⭐ Pour les curieux — pourquoi ça marche ? « Pour cent » veut dire littéralement « sur cent » : $20\,\%$, c'est $20$ parts quand on partage le tout en $100$ parts égales, autrement dit $\dfrac{20}{100}$. Imagine $150$ € découpés en $100$ petits paquets : chaque paquet vaut $\dfrac{150}{100} = 1{,}50$ €, et en prendre $20$ donne $20 \times 1{,}50 = 30$ €. C'est exactement $\dfrac{20}{100} \times 150$. Le « $\div 100$ » n'est donc pas un réflexe à retenir bêtement : c'est le mot « cent » lui-même qui le dit !

1. Écris le pourcentage en fraction : $t\,\% = \dfrac{t}{100}$.
2. Multiplie par la quantité de départ $N$.
3. Arrondis si besoin et ajoute l'unité.

$20\,\%$ de $150$ € : $\dfrac{20}{100} \times 150 = 0{,}20 \times 150 = 30$ €.

$10\,\%$ = diviser par $10$ ; $50\,\%$ = la moitié ; $25\,\%$ = le quart. Très pratique pour vérifier de tête !

Une échelle est un rapport (sans unité) entre une longueur sur le plan et la longueur réelle correspondante, exprimées dans la même unité.

$\text{échelle} = \dfrac{\text{longueur sur le plan}}{\text{longueur réelle}}$

Une échelle $\dfrac{1}{500}$ signifie que $1$ cm sur le plan représente $500$ cm en réalité.

1. Pour passer du plan à la réalité : multiplie la longueur du plan par le dénominateur.
2. Convertis le résultat dans une unité adaptée (m, km).
3. Pour passer de la réalité au plan : divise par le dénominateur.

Échelle $\dfrac{1}{500}$ : $4$ cm sur le plan représentent en réalité $4 \times 500 = 2\,000$ cm $= 20$ m.

Garde toujours la même unité des deux côtés avant de calculer, puis convertis seulement à la fin.