📊Statistiques

Dans une série statistique, l'effectif d'une valeur est le nombre de fois où cette valeur apparaît.

L'effectif total $N$ est la somme de tous les effectifs : c'est le nombre total de données (par exemple le nombre d'élèves interrogés).

1. Repère chaque valeur et son effectif.
2. Additionne tous les effectifs pour obtenir l'effectif total $N$.
3. Vérifie que la somme correspond bien au nombre de données.

Notes d'un groupe :

Effectif total : $3 + 5 + 2 = 10$ élèves.

L'effectif total est toujours la somme de la ligne des effectifs : un bon moyen de vérifier qu'on n'a rien oublié.

La fréquence d'une valeur est la part qu'elle représente dans le total :

$\text{fréquence} = \dfrac{\text{effectif de la valeur}}{\text{effectif total}}$

On l'exprime souvent en pourcentage en multipliant par $100$.

⭐ Pour les curieux — pourquoi ça marche ? Pourquoi la somme de toutes les fréquences fait-elle pile $1$ (ou $100\,\%$) ? Chaque fréquence, c'est un effectif divisé par le même total $N$. Quand on les additionne, on additionne d'abord tous les effectifs du haut : comme on a compté tout le monde, leur somme redonne exactement le total $N$ (par exemple $3 + 5 + 2 = 10 = N$). On obtient donc $\dfrac{N}{N}$, et un nombre divisé par lui-même fait toujours $1$. Les parts d'un gâteau, remises ensemble, redonnent forcément le gâteau entier.

1. Divise l'effectif de la valeur par l'effectif total $N$.
2. Pour l'avoir en $\%$, multiplie le résultat par $100$.
3. La somme de toutes les fréquences vaut $1$ (ou $100\,\%$).

Sur $10$ élèves, $2$ ont eu $15$.

Fréquence : $\dfrac{2}{10} = 0{,}2 = 20\,\%$.

Si tu additionnes toutes les fréquences en $\%$, tu dois retomber sur $100\,\%$. Sinon, il y a une erreur !

La moyenne d'une série de nombres est la somme de toutes les valeurs divisée par leur nombre.

$\text{moyenne} = \dfrac{\text{somme des valeurs}}{\text{nombre de valeurs}}$

⭐ Pour les curieux — pourquoi ça marche ? Pourquoi la moyenne tombe-t-elle toujours entre le plus petit et le plus grand ? Imagine que chaque note est une pile de jetons, et qu'on redistribue tous les jetons pour faire des piles toutes égales : c'est ça, la moyenne. On ne crée et on ne jette aucun jeton, on les déplace seulement. La pile la plus haute ne peut donc pas monter, la plus basse ne peut pas descendre : impossible que la pile finale dépasse la plus grande de départ ou descende sous la plus petite. C'est pour ça qu'une moyenne en dehors des valeurs signale toujours une erreur de calcul.

1. Additionne toutes les valeurs.
2. Compte combien il y a de valeurs.
3. Divise la somme par ce nombre.

Notes : $12$, $14$, $10$, $16$.

Somme : $12 + 14 + 10 + 16 = 52$.

Moyenne : $\dfrac{52}{4} = 13$.

La moyenne est toujours entre la plus petite et la plus grande valeur. Si tu trouves un nombre en dehors, recommence !

Quand une même valeur se répète (effectif), on utilise la moyenne pondérée.

$\text{moyenne} = \dfrac{\sum (\text{valeur} \times \text{effectif})}{\text{effectif total}}$

On multiplie chaque valeur par son effectif, on additionne, puis on divise par l'effectif total.

1. Multiplie chaque valeur par son effectif.
2. Additionne tous ces produits.
3. Divise cette somme par l'effectif total $N$.

Somme des produits : $8 \times 3 + 12 \times 5 + 15 \times 2 = 24 + 60 + 30 = 114$.

Effectif total : $3 + 5 + 2 = 10$.

Moyenne : $\dfrac{114}{10} = 11{,}4$.

N'oublie pas de diviser par l'effectif total, pas par le nombre de valeurs différentes : c'est l'erreur classique !

L'étendue d'une série mesure son écart : c'est la différence entre la plus grande et la plus petite valeur.

$\text{étendue} = \text{valeur maximale} - \text{valeur minimale}$

1. Repère la plus grande valeur de la série.
2. Repère la plus petite valeur.
3. Soustrais : maximum $-$ minimum.

Températures : $7$, $12$, $4$, $9$.

Maximum $= 12$, minimum $= 4$.

Étendue : $12 - 4 = 8$ °C.

L'étendue ne dépend que des deux valeurs extrêmes, pas de celles du milieu.

Pour représenter une série, on utilise plusieurs supports :

• le tableau d'effectifs (valeurs et effectifs) ;
• le diagramme en bâtons : la hauteur de chaque bâton est proportionnelle à l'effectif ;
• le diagramme circulaire : l'angle de chaque part est proportionnel à l'effectif (le disque entier vaut $360°$).

⭐ Pour les curieux — pourquoi ça marche ? D'où sort le $360°$ dans le calcul de l'angle ? Le disque entier représente tout le monde, et un tour complet vaut $360°$. Une catégorie occupe la même part du disque que sa part des élèves : si elle représente $\dfrac{5}{20}$ des élèves, sa tranche occupe $\dfrac{5}{20}$ du tour, donc $\dfrac{5}{20} \times 360° = 90°$. On partage le tour exactement comme on partage les élèves. Et comme toutes les parts réunies font le total, tous les angles réunis refont bien un tour complet : $360°$.

1. Pour un diagramme circulaire, calcule l'angle de chaque catégorie : $\text{angle} = \dfrac{\text{effectif}}{\text{effectif total}} \times 360°$.
2. Vérifie que la somme des angles fait bien $360°$.
3. Pour un diagramme en bâtons, la hauteur est proportionnelle à l'effectif.

Sur $20$ élèves, $5$ préfèrent le foot.

Angle de la part « foot » : $\dfrac{5}{20} \times 360° = 0{,}25 \times 360° = 90°$.

Dans un diagramme circulaire, l'angle se calcule comme une fréquence multipliée par $360°$ : un quart du disque $= 90°$.