🔄Symétrie centrale

La symétrie centrale par rapport à un point $O$ transforme une figure en lui faisant faire un demi-tour (une rotation d'un demi-tour) autour de $O$.

Le point $O$ s'appelle le centre de symétrie.

Le symétrique d'un point $A$ par rapport à $O$ est le point $A'$ tel que $O$ soit le milieu du segment $[AA']$.

Cas particulier : le symétrique du centre $O$ par rapport à $O$ est $O$ lui-même.

Pour bien comprendre :

1. Imagine la figure posée sur une feuille, une punaise plantée en $O$.
2. Tu fais tourner la feuille d'un demi-tour (180°) autour de la punaise.
3. La nouvelle position de la figure est son symétrique par rapport à $O$.

$A$ et $O$ sont deux points. Le symétrique $A'$ de $A$ est « de l'autre côté » de $O$, à la même distance : si $OA = 3$ cm, alors $OA' = 3$ cm, et $A$, $O$, $A'$ sont alignés.

Retiens l'image du demi-tour : la symétrie centrale, c'est tourner la figure « la tête en bas » autour du centre.

Le symétrique $A'$ d'un point $A$ par rapport à $O$ est le point tel que $O$ soit le milieu de $[AA']$.

Cela veut dire que les points $A$, $O$, $A'$ sont alignés et que $OA = OA'$.

Pour construire $A'$, symétrique de $A$ par rapport à $O$ :

1. Trace la demi-droite d'origine $A$ passant par $O$.
2. Mesure la longueur $OA$ au compas (ou à la règle).
3. Reporte cette même longueur de l'autre côté de $O$ : tu obtiens $A'$.
4. Vérifie : $O$ est bien le milieu de $[AA']$.

$A$ est tel que $OA = 4$ cm. On trace la droite $(AO)$, puis on place $A'$ sur cette droite, de l'autre côté de $O$, avec $OA' = 4$ cm.

Alors $AA' = OA + OA' = 4 + 4 = 8$ cm.

⚠️ Erreur classique : placer $A'$ du même côté que $A$. Le symétrique est toujours de l'autre côté du centre $O$.

Pour obtenir le symétrique d'une figure, il suffit de construire le symétrique de chacun de ses points clés (les sommets), puis de relier ces images.

Le symétrique d'un segment est un segment ; celui d'un triangle est un triangle ; celui d'un cercle est un cercle de même rayon.

Pour un triangle $ABC$, centre $O$ :

1. Construis $A'$, symétrique de $A$ par rapport à $O$.
2. Construis $B'$, symétrique de $B$.
3. Construis $C'$, symétrique de $C$.
4. Trace le triangle $A'B'C'$ en reliant $A'$, $B'$ et $C'$.

Le symétrique d'un cercle de centre $I$ et de rayon $2$ cm, par rapport à $O$, est un cercle de même rayon $2$ cm, dont le centre $I'$ est le symétrique de $I$.

Pas besoin de construire le symétrique de TOUS les points : seulement les sommets (ou le centre et un rayon pour un cercle), puis on relie.

La symétrie centrale conserve :

• les longueurs (un segment et son image ont la même longueur) ;
• les angles (un angle et son image ont la même mesure) ;
• l'aire et le périmètre d'une figure ;
• l'alignement des points et le parallélisme des droites.

Particularité : une droite et son symétrique par rapport à un point sont parallèles (ou confondues).

On dit que la symétrie centrale conserve « la forme et les dimensions » : une figure et son image sont superposables.

⭐ Pour les curieux — pourquoi ça marche ? Pourquoi une droite et son image sont-elles parallèles ? Prends deux points $A$ et $B$ de la droite, et leurs images $A'$ et $B'$. Par définition, $O$ est le milieu de $[AA']$ et le milieu de $[BB']$. Regarde alors le quadrilatère $ABA'B'$ : ses deux diagonales $[AA']$ et $[BB']$ se coupent en leur milieu commun $O$, donc c'est un parallélogramme ! Et dans un parallélogramme les côtés opposés sont parallèles : voilà pourquoi la droite $(AB)$ et son image $(A'B')$ sont bien parallèles.

Pour répondre à « telle longueur/aire est-elle conservée ? » :

1. Rappelle-toi que la symétrie centrale conserve tout ce qui est longueur, angle, aire et périmètre.
2. Donc l'image a exactement les mêmes mesures que la figure de départ.

Un triangle a pour côtés $5$ cm, $6$ cm et $7$ cm, et un angle de $40°$. Son symétrique par symétrie centrale a aussi des côtés de $5$, $6$ et $7$ cm et un angle de $40°$. Son périmètre vaut $5 + 6 + 7 = 18$ cm, comme l'original.

Tout est conservé sauf le sens : la figure est « retournée ». Mais longueurs, angles et aires ne changent pas.

La symétrie axiale se fait par rapport à une droite (un axe) : c'est un effet « miroir », comme un pliage le long de l'axe.

La symétrie centrale se fait par rapport à un point : c'est un demi-tour autour de ce point.

Les deux conservent les longueurs, les angles et les aires, mais elles n'agissent pas du tout de la même façon.

Pour savoir de quelle symétrie on parle :

1. Cherche l'élément de symétrie : une droite → symétrie axiale ; un point → symétrie centrale.
2. Axiale = pliage / miroir ; centrale = demi-tour.

« Symétrique de $A$ par rapport à la droite $(d)$ » → symétrie axiale.

« Symétrique de $A$ par rapport au point $O$ » → symétrie centrale.

Mot-clé : « par rapport à un point » = centrale ; « par rapport à une droite/un axe » = axiale.