🔗Continuité et théorème des valeurs intermédiaires

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ et $a \in I$. On dit que $f$ est continue en $a$ lorsque :

$\lim_{x \to a} f(x) = f(a).$

Intuitivement, la courbe ne fait pas de « saut » en $a$ : on peut la tracer sans lever le crayon. Quand au moins une limite à gauche ou à droite diffère de $f(a)$, la fonction est discontinue en $a$.

Exemple classique de discontinuité : la partie entière $x \mapsto \lfloor x \rfloor$ « saute » à chaque entier.

Pour vérifier la continuité de $f$ en $a$ :

1. Calcule $f(a)$.
2. Calcule $\lim\limits_{x \to a} f(x)$ (à gauche et à droite si nécessaire).
3. Compare : si la limite vaut $f(a)$, $f$ est continue en $a$ ; sinon elle ne l'est pas.

Soit $f(x) = x^2 + 1$ et $a = 2$.

$f(2) = 2^2 + 1 = 5$, et $\lim\limits_{x \to 2} (x^2 + 1) = 2^2 + 1 = 5$.

La limite est égale à $f(2)$, donc $f$ est continue en $2$ (comme tout polynôme, elle est continue partout).

Continuité en $a$ = « pas de saut » = la limite coïncide avec la valeur $f(a)$. C'est une condition plus forte que la simple existence de la limite.

$f$ est continue sur un intervalle $I$ lorsqu'elle est continue en chaque point de $I$.

Les fonctions de référence sont continues sur tout intervalle où elles sont définies :

• les fonctions polynômes (continues sur $\mathbb{R}$) ; • les fonctions rationnelles (sur tout intervalle de leur domaine) ; • $x \mapsto \sqrt{x}$ (sur $[0\,;\,+\infty[$) ; • $x \mapsto e^x$ (sur $\mathbb{R}$) et $x \mapsto \ln x$ (sur $\,]0\,;\,+\infty[$) ; • les fonctions $\sin$ et $\cos$ (sur $\mathbb{R}$).

De plus, somme, produit, quotient (à dénominateur non nul) et composée de fonctions continues sont continues. Enfin, toute fonction dérivable sur $I$ y est continue (la réciproque est fausse : $x \mapsto |x|$ est continue mais non dérivable en $0$).

⭐ Pour les curieux — pourquoi ça marche ? Pourquoi « dérivable » entraîne-t-il « continue » ? Si $f$ est dérivable en $a$, le taux d'accroissement $\dfrac{f(x) - f(a)}{x - a}$ tend vers le nombre fini $f'(a)$. Or on peut écrire $f(x) - f(a) = \dfrac{f(x) - f(a)}{x - a} \times (x - a)$ : c'est un produit dont le premier facteur tend vers $f'(a)$ et le second vers $0$. Le produit tend donc vers $f'(a) \times 0 = 0$, c'est-à-dire $f(x) \to f(a)$ : pas de saut, $f$ est continue ! La réciproque échoue parce que $|x|$ a bien une limite en $0$, mais son taux d'accroissement vaut $+1$ à droite et $-1$ à gauche : la pente, elle, saute.

Pour justifier la continuité d'une fonction « compliquée » :

1. Décompose-la en fonctions usuelles.
2. Invoque le fait que sommes, produits, quotients et composées de fonctions continues sont continus.
3. Précise l'intervalle (attention aux valeurs interdites).

Soit $f(x) = \dfrac{e^x}{x^2 + 1}$.

Le numérateur $x \mapsto e^x$ est continu sur $\mathbb{R}$. Le dénominateur $x \mapsto x^2 + 1$ est un polynôme, continu et jamais nul (car $x^2 + 1 \geq 1 > 0$).

Quotient de deux fonctions continues à dénominateur non nul : $f$ est continue sur $\mathbb{R}$.

« Dérivable $\Rightarrow$ continue », mais pas l'inverse. L'exemple à connaître : $x \mapsto |x|$ est continue partout mais a un « coin » en $0$, donc n'y est pas dérivable.

Théorème des valeurs intermédiaires. Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $[a\,;\,b]$. Alors, pour tout réel $k$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$, il existe au moins un réel $c \in [a\,;\,b]$ tel que :

$f(c) = k.$

Autrement dit, une fonction continue prend toutes les valeurs intermédiaires entre $f(a)$ et $f(b)$ : sa courbe ne peut pas « sauter » par-dessus la droite horizontale $y = k$.

Cas particulier très utile : si $f$ est continue sur $[a\,;\,b]$ et si $f(a)$ et $f(b)$ sont de signes contraires (c.-à-d. $f(a) \times f(b) < 0$), alors l'équation $f(x) = 0$ admet au moins une solution dans $[a\,;\,b]$.

⭐ Pour les curieux — pourquoi ça marche ? L'algorithme de dichotomie (section suivante) est exactement la machine qui fabrique le point $c$. Pars de $[a\,;\,b]$ où $f$ change de signe ; coupe en deux : sur l'une des moitiés au moins, le signe change encore, garde-la. En répétant, tu construis des intervalles emboîtés dont la largeur est divisée par $2$ à chaque étape, donc rétrécit vers $0$ : ils se resserrent sur un unique réel $c$. Comme $f$ est continue (pas de saut), la valeur $f(c)$ ne peut être ni strictement positive ni strictement négative — sinon le signe ne changerait plus autour de $c$ — il ne reste que $f(c) = 0$. La continuité est l'ingrédient crucial : sur la partie entière, qui saute, ce procédé échouerait.

Pour appliquer le TVI à l'équation $f(x) = k$ sur $[a\,;\,b]$ :

1. Vérifie que $f$ est continue sur $[a\,;\,b]$.
2. Calcule $f(a)$ et $f(b)$.
3. Vérifie que $k$ est compris entre $f(a)$ et $f(b)$.
4. Conclus : il existe (au moins) un $c \in [a\,;\,b]$ tel que $f(c) = k$.

Soit $f(x) = x^3 - x - 1$, continue sur $\mathbb{R}$ (polynôme). Montrons que $f(x) = 0$ a une solution dans $[1\,;\,2]$.

$f(1) = 1 - 1 - 1 = -1 < 0$ et $f(2) = 8 - 2 - 1 = 5 > 0$.

$f$ est continue et $f(1)$, $f(2)$ sont de signes contraires : d'après le TVI, l'équation $f(x) = 0$ admet au moins une solution $c$ dans $[1\,;\,2]$.

Le TVI seul donne l'existence (« au moins une » solution), mais pas l'unicité. Pour l'unicité, il faut ajouter la stricte monotonie (section suivante).

Corollaire du TVI (théorème de la bijection). Soit $f$ une fonction continue et strictement monotone sur $[a\,;\,b]$. Alors, pour tout réel $k$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$, l'équation $f(x) = k$ admet une unique solution dans $[a\,;\,b]$.

Ce résultat reste valable sur un intervalle ouvert ou semi-ouvert, en remplaçant $f(a)$ et $f(b)$ par les limites aux bornes. La stricte monotonie garantit qu'une même valeur $k$ ne peut être atteinte qu'une seule fois.

Dans un tableau de variations, on indique cette solution unique par une flèche qui traverse une fois la valeur $k$.

⭐ Pour les curieux — pourquoi ça marche ? L'unicité tient en une ligne. Si $f$ est strictement croissante, alors $x_1 < x_2$ force $f(x_1) < f(x_2)$ : deux entrées différentes donnent toujours deux sorties différentes. La valeur $k$ ne peut donc être atteinte qu'au plus une fois. Le TVI fournit de son côté au moins une solution. « Au moins une » et « au plus une » se rencontrent sur : exactement une. C'est pourquoi la stricte monotonie est indispensable : sans elle, $f$ pourrait redescendre et repasser par la même valeur $k$ plus loin.

Pour justifier l'existence et l'unicité de la solution de $f(x) = k$ :

1. Montre que $f$ est continue sur l'intervalle.
2. Montre qu'elle est strictement monotone (étude du signe de $f'$).
3. Vérifie que $k$ est compris entre les valeurs (ou limites) aux bornes.
4. Conclus : solution unique.

Reprenons $f(x) = x^3 - x - 1$ sur $[1\,;\,2]$.

$f'(x) = 3x^2 - 1$. Sur $[1\,;\,2]$, $x \geq 1$ donc $3x^2 \geq 3 > 1$, ainsi $f'(x) > 0$ : $f$ est strictement croissante.

Elle est continue, strictement croissante, et $0$ est compris entre $f(1) = -1$ et $f(2) = 5$. Donc $f(x) = 0$ admet une unique solution dans $[1\,;\,2]$.

Mémo : continue + strictement monotone $\Rightarrow$ existence ET unicité. Sans la stricte monotonie, tu n'as que l'existence.

Une fois l'existence et l'unicité de la solution $c$ établies, on l'encadre de plus en plus finement.

Balayage. On évalue $f$ sur des valeurs régulièrement espacées (pas $0{,}1$ puis $0{,}01$, etc.) et on repère le changement de signe : la solution est entre ces deux valeurs.

Dichotomie. On part d'un intervalle $[a\,;\,b]$ où le signe de $f$ change. On calcule le milieu $m = \dfrac{a + b}{2}$ : selon le signe de $f(m)$, la solution est dans $[a\,;\,m]$ ou dans $[m\,;\,b]$. On divise par deux la largeur de l'intervalle à chaque étape, jusqu'à atteindre la précision voulue.

Dichotomie pour une précision donnée $\varepsilon$ :

1. Pars de $[a\,;\,b]$ avec $f(a)$ et $f(b)$ de signes contraires.
2. Calcule $m = \dfrac{a + b}{2}$ et le signe de $f(m)$.
3. Remplace $a$ ou $b$ par $m$ en conservant le changement de signe.
4. Répète jusqu'à ce que $b - a \leq \varepsilon$. La solution est dans l'intervalle final.

Pour $f(x) = x^3 - x - 1$ sur $[1\,;\,2]$ ($f(1) = -1 < 0$, $f(2) = 5 > 0$) :

Milieu $m = 1{,}5$ : $f(1{,}5) = 3{,}375 - 1{,}5 - 1 = 0{,}875 > 0$. La solution est donc dans $[1\,;\,1{,}5]$.

Milieu $m = 1{,}25$ : $f(1{,}25) = 1{,}953125 - 1{,}25 - 1 = -0{,}296875 < 0$. La solution est dans $[1{,}25\,;\,1{,}5]$.

En poursuivant, on obtient $c \approx 1{,}32$.

À chaque étape de dichotomie, la largeur est divisée par $2$. Pour gagner un chiffre décimal, il faut environ $3$ à $4$ étapes (car $2^4 = 16 > 10$).

Pour traiter complètement une équation $f(x) = k$ avec le TVI et son corollaire :

1. Continuité : on s'assure que $f$ est continue sur l'intervalle de travail.
2. Monotonie : l'étude du signe de $f'$ donne le sens de variation.
3. Encadrement de $k$ : on compare $k$ aux valeurs (ou limites) aux bornes.
4. Conclusion : existence (TVI) et, si stricte monotonie, unicité (corollaire).
5. Approximation : balayage ou dichotomie pour encadrer la solution.

Rédaction type au bac :

1. « $f$ est continue sur $I$ comme … (polynôme, quotient…). »
2. « $f$ est strictement monotone sur $I$ car $f'(x) > 0$ (ou $< 0$). »
3. « $k$ est compris entre $f(a)$ et $f(b)$. »
4. « D'après le corollaire du TVI, l'équation $f(x) = k$ admet une unique solution dans $I$. »

Soit $f(x) = e^x + x$ sur $\mathbb{R}$. Montrons que $f(x) = 0$ a une unique solution.

$f$ est continue (somme de $e^x$ et de $x$). $f'(x) = e^x + 1 > 0$ partout, donc $f$ est strictement croissante.

$\lim\limits_{x \to -\infty} f(x) = -\infty$ et $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$, donc $0$ est une valeur atteinte. Par le corollaire du TVI, $f(x) = 0$ a une unique solution réelle.

Au bac, structure toujours ta rédaction en trois piliers : continuité, stricte monotonie, valeur $k$ atteinte. Les trois ensemble donnent existence + unicité.