📉Limites de fonctions

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle du type $\,]a\,;\,+\infty[$.

• $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = \ell$ (réel) signifie que $f(x)$ devient aussi proche de $\ell$ qu'on veut quand $x$ est assez grand. La courbe admet alors une asymptote horizontale d'équation $y = \ell$ en $+\infty$.

• $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$ signifie que $f(x)$ dépasse tout réel $A$ dès que $x$ est assez grand.

Limites de référence en $+\infty$ :

$\lim_{x \to +\infty} \dfrac{1}{x} = 0, \quad \lim_{x \to +\infty} x^2 = +\infty, \quad \lim_{x \to +\infty} \sqrt{x} = +\infty.$

Pour interpréter une limite finie en $+\infty$ :

1. Calcule $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x)$.
2. Si cette limite vaut un réel $\ell$, la droite $y = \ell$ est asymptote horizontale en $+\infty$.
3. La courbe se rapproche de cette droite sans forcément la toucher.

Soit $f(x) = 2 + \dfrac{1}{x}$ sur $\,]0\,;\,+\infty[$.

Quand $x \to +\infty$, $\dfrac{1}{x} \to 0$, donc $f(x) \to 2 + 0 = 2$.

Ainsi $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = 2$ : la droite d'équation $y = 2$ est asymptote horizontale à la courbe en $+\infty$.

Asymptote horizontale $\Leftrightarrow$ limite finie en l'infini. L'équation de l'asymptote est $y = \ell$, où $\ell$ est la valeur de la limite.

Soit $a$ un réel. On peut étudier la limite de $f$ quand $x$ tend vers $a$, éventuellement par valeurs supérieures ($x \to a^+$) ou inférieures ($x \to a^-$).

Quand $f(x)$ devient infini au voisinage de $a$ — par exemple $\lim\limits_{x \to a^+} f(x) = +\infty$ — la courbe admet une asymptote verticale d'équation $x = a$.

C'est typiquement le cas pour une fraction dont le dénominateur s'annule en $a$ sans que le numérateur s'y annule. Par exemple, pour $f(x) = \dfrac{1}{x}$ :

$\lim_{x \to 0^+} \dfrac{1}{x} = +\infty, \qquad \lim_{x \to 0^-} \dfrac{1}{x} = -\infty.$

Pour détecter une asymptote verticale en $x = a$ :

1. Cherche les valeurs $a$ qui annulent le dénominateur (sans annuler le numérateur).
2. Étudie le signe du dénominateur juste à gauche et juste à droite de $a$.
3. Si la limite est infinie, la droite $x = a$ est asymptote verticale.

Soit $f(x) = \dfrac{1}{x - 3}$.

Le dénominateur s'annule en $x = 3$. Pour $x \to 3^+$, $x - 3 > 0$ tend vers $0^+$, donc $f(x) \to +\infty$. Pour $x \to 3^-$, $x - 3 < 0$ tend vers $0^-$, donc $f(x) \to -\infty$.

La droite d'équation $x = 3$ est asymptote verticale à la courbe.

Asymptote verticale $\Leftrightarrow$ limite infinie en un réel $a$. Pense à étudier séparément la gauche ($x \to a^-$) et la droite ($x \to a^+$) : les signes peuvent différer.

Comme pour les suites, on combine les limites de fonctions par somme, produit et quotient, en évitant les formes indéterminées.

Somme : la limite d'une somme est la somme des limites, sauf $\infty - \infty$.

Produit : la limite d'un produit est le produit des limites, sauf $0 \times \infty$.

Quotient : la limite d'un quotient est le quotient des limites quand le dénominateur tend vers une limite non nulle ; sinon on retrouve $\dfrac{0}{0}$ ou $\dfrac{\infty}{\infty}$.

Les quatre formes indéterminées sont les mêmes que pour les suites :

$\infty - \infty, \qquad 0 \times \infty, \qquad \dfrac{\infty}{\infty}, \qquad \dfrac{0}{0}.$

Pour calculer une limite de fonction :

1. Remplace mentalement $x$ par la valeur visée (ou $\pm\infty$).
2. Applique les opérations sur les limites.
3. Si tu tombes sur une FI, transforme l'écriture (factorisation, expression conjuguée) pour lever l'indétermination.

Calculons $\lim\limits_{x \to +\infty} \Big(3 + \dfrac{2}{x}\Big)\Big(1 - \dfrac{1}{x}\Big)$.

Quand $x \to +\infty$ : $\dfrac{2}{x} \to 0$ donc le premier facteur $\to 3$ ; $\dfrac{1}{x} \to 0$ donc le second facteur $\to 1$.

Par produit (aucune FI) : la limite vaut $3 \times 1 = 3$.

Avant de crier « forme indéterminée », vérifie : $\dfrac{\text{nombre}}{\infty} = 0$ et $\dfrac{\text{nombre} \neq 0}{0^+} = \pm\infty$ ne sont pas des FI. Seuls $\frac{0}{0}$ et $\frac{\infty}{\infty}$ le sont.

Limite d'un polynôme en $\pm\infty$. À l'infini, un polynôme a la même limite que son terme de plus haut degré. Par exemple :

$\lim_{x \to +\infty} \big(x^2 - 100x + 7\big) = \lim_{x \to +\infty} x^2 = +\infty.$

Limite d'une fraction rationnelle en $\pm\infty$. Elle a la même limite que le quotient des termes de plus haut degré du numérateur et du dénominateur.

La méthode rigoureuse consiste à factoriser par le terme dominant en haut et en bas, puis à simplifier : les termes en $\dfrac{1}{x^k}$ tendent vers $0$.

⭐ Pour les curieux — pourquoi ça marche ? Pourquoi seul le plus haut degré compte-t-il ? Mets-toi à très grand $x$ et factorise par le terme dominant : $x^2 - 100x + 7 = x^2\big(1 - \frac{100}{x} + \frac{7}{x^2}\big)$. Les termes $\frac{100}{x}$ et $\frac{7}{x^2}$ tendent vers $0$, donc la grande parenthèse tend vers $1$ : il ne reste que $x^2$. Concrètement, à $x = 1000$ le $-100x = -100\,000$ semble énorme, mais $x^2 = 1\,000\,000$ l'écrase déjà $10$ fois ; et l'écart se creuse encore après. Pour une fraction, on factorise pareil en haut ET en bas : tout ce qui n'est pas dominant s'évapore en $0$, et il ne reste que le rapport des coefficients dominants.

Pour une fraction rationnelle en $+\infty$ (FI $\frac{\infty}{\infty}$) :

1. Repère le terme de plus haut degré au numérateur et au dénominateur.
2. Factorise par ce terme en haut et en bas.
3. Simplifie, puis fais tendre les $\dfrac{1}{x^k}$ vers $0$.

Calculons $\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{2x^2 - x + 1}{x^2 + 5}$ (FI $\frac{\infty}{\infty}$).

On factorise par $x^2$ :

$\dfrac{x^2\Big(2 - \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2}\Big)}{x^2\Big(1 + \frac{5}{x^2}\Big)} = \dfrac{2 - \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2}}{1 + \frac{5}{x^2}}.$

Quand $x \to +\infty$, le numérateur $\to 2$ et le dénominateur $\to 1$, donc la limite vaut $\dfrac{2}{1} = 2$.

Vérification rapide : « degré du haut » contre « degré du bas ». Mêmes degrés $\Rightarrow$ limite = rapport des coefficients dominants ($\frac{2}{1} = 2$ ici).

À l'infini, certaines fonctions « l'emportent » sur d'autres. On retient les croissances comparées :

$\lim_{x \to +\infty} \dfrac{e^x}{x^n} = +\infty \quad\text{(pour tout entier } n\geq 1\text{)}, \qquad \lim_{x \to +\infty} \dfrac{\ln x}{x} = 0.$

En mots : l'exponentielle l'emporte sur toute puissance de $x$, et toute puissance de $x$ l'emporte sur le logarithme. On a aussi, en $-\infty$ :

$\lim_{x \to -\infty} x\,e^x = 0.$

Ces résultats permettent de lever des FI du type $\frac{\infty}{\infty}$ ou $0 \times \infty$ contenant $e^x$ ou $\ln x$.

⭐ Pour les curieux — pourquoi ça marche ? Que $e^x$ écrase $x^2$ n'est pas un dogme : ça se prouve en deux lignes au niveau Tle. Pose $\varphi(x) = e^x - \frac{x^2}{2}$ ; alors $\varphi'(x) = e^x - x$ et $\varphi''(x) = e^x - 1 \geq 0$ pour $x \geq 0$, donc $\varphi'$ croît à partir de $\varphi'(0) = 1 > 0$ : $\varphi'$ reste positive, $\varphi$ croît, et comme $\varphi(0) = 1 > 0$ on a $e^x \geq \frac{x^2}{2}$ pour tout $x \geq 0$. En divisant par $x > 0$ : $\dfrac{e^x}{x} \geq \dfrac{x}{2} \to +\infty$. L'image juste : à chaque pas de $+1$ en $x$, l'exponentielle se multiplie par $e \approx 2{,}7$ (croissance géométrique), tandis que $x^n$ ne fait que s'additionner un peu — le multiplicatif finit toujours par pulvériser l'additif.

Pour une limite avec $e^x$ ou $\ln x$ en FI :

1. Repère la fonction « la plus forte » (l'exponentielle domine la puissance, qui domine le logarithme).
2. Mets en facteur ou réécris pour faire apparaître une croissance comparée connue.
3. Conclus.

Calculons $\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{e^x}{x^2}$.

C'est une FI $\frac{\infty}{\infty}$. Mais d'après les croissances comparées, l'exponentielle l'emporte sur la puissance $x^2$, donc :

$\lim_{x \to +\infty} \dfrac{e^x}{x^2} = +\infty.$

Phrase-clé à mémoriser : « l'exponentielle écrase tout ». Dans une compétition à l'infini, $e^x \gg x^n \gg \ln x$.

Pour étudier une fonction $f$, on détermine ses limites :

• aux bornes du domaine (en $\pm\infty$ si le domaine n'est pas borné) ; • aux valeurs interdites (où le dénominateur s'annule), à gauche et à droite.

Chaque limite finie en $\pm\infty$ donne une asymptote horizontale ; chaque limite infinie en un réel $a$ donne une asymptote verticale $x = a$. Ces informations structurent le tracé de la courbe.

Plan d'étude des limites :

1. Détermine le domaine de définition.
2. Calcule les limites en $+\infty$ et $-\infty$ (si concerné) : asymptotes horizontales éventuelles.
3. Calcule les limites aux valeurs interdites, à gauche et à droite : asymptotes verticales éventuelles.
4. Rassemble le tout dans un tableau de variations.

Soit $f(x) = \dfrac{2x + 1}{x - 1}$, définie sur $\mathbb{R} \setminus \{1\}$.

En $+\infty$ : $\dfrac{2x + 1}{x - 1} \sim \dfrac{2x}{x} = 2$, donc $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = 2$ (asymptote horizontale $y = 2$). Idem en $-\infty$.

En $1$ : le dénominateur tend vers $0$, le numérateur vers $3 \neq 0$. Pour $x \to 1^+$, $f(x) \to +\infty$ ; pour $x \to 1^-$, $f(x) \to -\infty$ : asymptote verticale $x = 1$.

Réflexe : « bornes du domaine » + « valeurs interdites ». Aux valeurs interdites, n'oublie jamais d'étudier les deux côtés séparément.