📐Dérivation et convexité

On rappelle les dérivées de référence :

$(x^n)' = n\,x^{n-1}, \qquad \Big(\dfrac{1}{x}\Big)' = -\dfrac{1}{x^2}, \qquad (\sqrt{x})' = \dfrac{1}{2\sqrt{x}},$ $(e^x)' = e^x, \qquad (\ln x)' = \dfrac{1}{x}, \qquad (\sin x)' = \cos x, \qquad (\cos x)' = -\sin x.$

Et les opérations ($u$, $v$ dérivables) :

$(u + v)' = u' + v', \qquad (k\,u)' = k\,u', \qquad (uv)' = u'v + uv',$ $\Big(\dfrac{u}{v}\Big)' = \dfrac{u'v - uv'}{v^2} \quad (v \neq 0).$

Pour dériver une expression :

1. Identifie la structure (somme, produit, quotient).
2. Applique la formule d'opération correspondante.
3. Remplace chaque $u'$, $v'$ par la dérivée usuelle.
4. Simplifie le résultat.

Dérivons $f(x) = (2x + 1)(x^2 - 3)$ avec la formule du produit.

Posons $u = 2x + 1$ (donc $u' = 2$) et $v = x^2 - 3$ (donc $v' = 2x$).

$f' = u'v + uv' = 2(x^2 - 3) + (2x + 1)(2x) = 2x^2 - 6 + 4x^2 + 2x = 6x^2 + 2x - 6.$

Pour le quotient, mémorise « haut prime bas moins haut bas prime, le tout sur bas au carré » : $\dfrac{u'v - uv'}{v^2}$. L'ordre des termes au numérateur est crucial (signe moins).

Soit $u$ une fonction dérivable et $g$ une fonction dérivable. La composée $g \circ u : x \mapsto g\big(u(x)\big)$ est dérivable et :

$(g \circ u)'(x) = u'(x) \times g'\big(u(x)\big).$

On dérive « la fonction du dessus » prise en $u$, puis on multiplie par la dérivée de l'intérieur $u'$. Cas particuliers très fréquents :

$\big(e^{u}\big)' = u'\,e^{u}, \qquad \big(\ln u\big)' = \dfrac{u'}{u}, \qquad \big(u^n\big)' = n\,u'\,u^{\,n-1}, \qquad \big(\sqrt{u}\big)' = \dfrac{u'}{2\sqrt{u}}.$

⭐ Pour les curieux — pourquoi ça marche ? Imagine deux engrenages emboîtés : quand $x$ avance d'un petit pas $h$, l'intérieur $u$ se déplace de $\Delta u \approx u'(x)\,h$, puis $g$ réagit à ce déplacement de $\Delta g \approx g'(u)\,\Delta u$. En enchaînant, $\Delta g \approx g'(u)\times u'(x)\times h$, donc le taux de variation $\dfrac{\Delta g}{h} \approx u'(x)\times g'\big(u(x)\big)$. Les deux « vitesses » se multiplient : c'est exactement $(g\circ u)' = u'\times g'(u)$, et c'est pour cela qu'oublier le facteur $u'$ revient à oublier un des deux engrenages.

Pour dériver une composée $g\big(u(x)\big)$ :

1. Identifie la fonction « intérieure » $u$ et la fonction « extérieure » $g$.
2. Calcule $u'$.
3. Calcule $g'$, puis remplace son argument par $u$.
4. Multiplie : $(g \circ u)' = u' \times g'(u)$.

Dérivons $f(x) = e^{2x}$.

Ici $u(x) = 2x$ (donc $u'(x) = 2$) et $g(t) = e^{t}$ (donc $g'(t) = e^{t}$).

$f'(x) = u'(x)\,e^{u(x)} = 2\,e^{2x}$.

Donc $\big(e^{2x}\big)' = 2\,e^{2x}$. De même $\big(e^{-3x}\big)' = -3\,e^{-3x}$ et $\big((x^2 + 1)^5\big)' = 5 \times 2x \times (x^2+1)^4 = 10x\,(x^2+1)^4$.

Réflexe « pelures d'oignon » : on dérive de l'extérieur vers l'intérieur, et on n'oublie jamais de multiplier par la dérivée de l'intérieur $u'$. Oublier $u'$ est l'erreur numéro un.

Si la dérivée $f'$ d'une fonction $f$ est elle-même dérivable, sa dérivée s'appelle la dérivée seconde de $f$, notée $f''$ :

$f'' = (f')'.$

La dérivée seconde mesure la « variation de la pente ». Elle sert à étudier la convexité de $f$ (section suivante).

En physique, si $f(t)$ est une position, alors $f'(t)$ est la vitesse et $f''(t)$ est l'accélération.

Pour calculer $f''$ :

1. Calcule d'abord $f'$.
2. Dérive à nouveau $f'$ pour obtenir $f'' = (f')'$.
3. Simplifie.

Soit $f(x) = x^3$.

$f'(x) = 3x^2$, puis $f''(x) = (3x^2)' = 6x$.

Autre exemple : $f(x) = e^{2x}$ donne $f'(x) = 2e^{2x}$, puis $f''(x) = (2e^{2x})' = 2 \times 2e^{2x} = 4e^{2x}$.

$f''$ = « dérivée de la dérivée ». Si $f'$ est la vitesse, $f''$ est l'accélération : c'est la variation de la pente de la courbe.

Soit $f$ deux fois dérivable sur un intervalle $I$.

• $f$ est convexe sur $I$ lorsque $f''(x) \geq 0$ pour tout $x \in I$. La courbe « tourne sa concavité vers le haut » (en forme de cuvette $\smile$) et est située au-dessus de chacune de ses tangentes.

• $f$ est concave sur $I$ lorsque $f''(x) \leq 0$ pour tout $x \in I$. La courbe est en forme de dôme $\frown$ et se trouve en dessous de chacune de ses tangentes.

Exemples : $x \mapsto x^2$ est convexe sur $\mathbb{R}$ ($f'' = 2 > 0$) ; $x \mapsto e^x$ est convexe sur $\mathbb{R}$ ($f'' = e^x > 0$) ; $x \mapsto \ln x$ est concave sur $\,]0\,;\,+\infty[$ ($f'' = -\frac{1}{x^2} < 0$).

⭐ Pour les curieux — pourquoi ça marche ? Dire $f''\geq 0$, c'est dire que la pente $f'$ augmente quand on avance. Or la tangente en $a$ garde, elle, une pente fixe égale à $f'(a)$. Juste avant $a$, la courbe montait moins vite que cette pente ; juste après, elle monte plus vite : des deux côtés, la courbe « décolle » vers le haut de sa tangente et reste donc au-dessus (cuvette $\smile$). C'est l'inverse pour une fonction concave, dont la pente diminue : la courbe passe alors en dessous de chaque tangente.

Pour étudier la convexité de $f$ :

1. Calcule $f''$.
2. Étudie le signe de $f''$ sur $I$.
3. Là où $f'' \geq 0$ : $f$ convexe ; là où $f'' \leq 0$ : $f$ concave.

Soit $f(x) = x^3$. On a $f''(x) = 6x$.

• Pour $x < 0$ : $f''(x) = 6x < 0$, donc $f$ est concave sur $\,]-\infty\,;\,0]$.

• Pour $x > 0$ : $f''(x) = 6x > 0$, donc $f$ est convexe sur $[0\,;\,+\infty[$.

La convexité change de nature en $x = 0$.

Moyen mnémotechnique : conVexe = en forme de Vallée ($\smile$, au-dessus des tangentes). Le signe de $f''$ ($\geq 0$ convexe, $\leq 0$ concave) suffit à conclure.

Un point d'inflexion est un point de la courbe où la fonction change de convexité (elle passe de convexe à concave ou inversement).

Concrètement, $a$ est l'abscisse d'un point d'inflexion lorsque $f''$ s'annule en changeant de signe en $a$.

En un point d'inflexion, la tangente traverse la courbe : elle passe d'un côté de la courbe à l'autre.

Attention : il ne suffit pas que $f''(a) = 0$ ; il faut bien un changement de signe de $f''$. Par exemple, pour $f(x) = x^4$, $f''(x) = 12x^2 \geq 0$ s'annule en $0$ mais ne change pas de signe : $x = 0$ n'est pas un point d'inflexion.

Pour trouver les points d'inflexion de $f$ :

1. Calcule $f''$.
2. Résous $f''(x) = 0$.
3. Pour chaque solution $a$, vérifie que $f''$ change de signe en $a$.
4. Si oui, le point $\big(a\,;\,f(a)\big)$ est un point d'inflexion.

Soit $f(x) = x^3$, avec $f''(x) = 6x$.

$f''(x) = 0 \Leftrightarrow x = 0$. Et $f''$ change de signe en $0$ (négatif avant, positif après).

Donc le point $\big(0\,;\,f(0)\big) = (0\,;\,0)$ est un point d'inflexion de la courbe.

Point d'inflexion $\neq$ simplement « $f''(a) = 0$ ». La condition décisive est le changement de signe de $f''$. Contre-exemple à retenir : $x^4$ en $0$.

La convexité contrôle la position de la courbe par rapport à ses tangentes :

• Si $f$ est convexe sur $I$, sa courbe est au-dessus de chacune de ses tangentes sur $I$.

• Si $f$ est concave sur $I$, sa courbe est en dessous de chacune de ses tangentes.

Pour le démontrer rigoureusement, on étudie le signe de la différence $d(x) = f(x) - T(x)$, où $T(x) = f'(a)(x - a) + f(a)$ est la tangente en $a$. Si $d(x) \geq 0$, la courbe est au-dessus ; si $d(x) \leq 0$, en dessous.

Pour situer la courbe par rapport à la tangente $T$ en $a$ :

1. Écris l'équation de la tangente $T(x) = f'(a)(x - a) + f(a)$.
2. Forme la différence $d(x) = f(x) - T(x)$.
3. Étudie le signe de $d(x)$ : positif $\Rightarrow$ courbe au-dessus ; négatif $\Rightarrow$ courbe en dessous.
4. Relie au signe de $f''$ pour confirmer (convexe/concave).

Soit $f(x) = x^2$, convexe sur $\mathbb{R}$ ($f'' = 2 > 0$). Tangente en $a = 1$ : $f(1) = 1$, $f'(1) = 2$, donc $T(x) = 2(x - 1) + 1 = 2x - 1$.

$d(x) = x^2 - (2x - 1) = x^2 - 2x + 1 = (x - 1)^2 \geq 0$.

La différence est toujours positive : la courbe est bien au-dessus de sa tangente (cohérent avec la convexité).

Mémo visuel : convexe = courbe au-dessus de ses tangentes (cuvette $\smile$), concave = courbe en dessous (dôme $\frown$). Le signe de $d(x) = f(x) - T(x)$ le confirme par le calcul.