⚡Fonction exponentielle (approfondissement)

La fonction exponentielle, notée $\exp$ ou $x \mapsto e^x$, est l'unique fonction $f$ dérivable sur $\mathbb{R}$ telle que $f' = f$ et $f(0) = 1$. On a en particulier $e^0 = 1$ et $e^1 = e \approx 2{,}718$.

Pour tous réels $a$ et $b$ et tout entier $n$ :

$e^{a+b} = e^a \times e^b, \qquad e^{-a} = \dfrac{1}{e^a}, \qquad e^{a-b} = \dfrac{e^a}{e^b}, \qquad \left(e^a\right)^n = e^{na}.$

De plus $e^x > 0$ pour tout réel $x$ : l'exponentielle ne s'annule jamais et reste strictement positive. La fonction $\exp$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$, donc :

$e^a = e^b \iff a = b \qquad \text{et} \qquad e^a < e^b \iff a < b.$

⭐ Pour les curieux — pourquoi ça marche ? Pourquoi $e^x$ ne devient-il jamais négatif ni nul ? Regarde le produit $\varphi(x) = e^x \times e^{-x}$. Sa dérivée vaut $e^x \times e^{-x} + e^x \times (-e^{-x}) = 0$ : ce produit est donc constant, égal à sa valeur en $0$, soit $e^0 \times e^0 = 1$. On a ainsi $e^x \times e^{-x} = 1$ pour tout $x$ : un nombre qui multiplie quelque chose pour donner $1$ ne peut pas être nul. Et comme $\exp$ est continue, partant de $e^0 = 1 > 0$, elle ne pourrait passer dans le négatif qu'en valant $0$ au passage, ce qui est impossible. Conclusion : $e^x$ reste strictement positif partout.

Pour simplifier une expression avec des exponentielles :

1. Regroupe les facteurs : un produit $e^a \times e^b$ devient $e^{a+b}$.
2. Transforme un quotient $\dfrac{e^a}{e^b}$ en $e^{a-b}$.
3. Remplace une puissance $(e^a)^n$ par $e^{na}$.
4. Termine avec les valeurs connues : $e^0 = 1$, $e^1 = e$.

Simplifions $A = \dfrac{e^{3} \times e^{-1}}{e^{2}}$.

Au numérateur : $e^{3} \times e^{-1} = e^{3 + (-1)} = e^{2}$.

Donc $A = \dfrac{e^{2}}{e^{2}} = e^{2-2} = e^{0} = 1.$

Retiens que $e^x$ est toujours strictement positif : tu peux diviser une inéquation par $e^x$ sans jamais changer le sens de l'inégalité.

La fonction $\exp$ est sa propre dérivée : $(e^x)' = e^x$.

Plus généralement, si $u$ est une fonction dérivable sur un intervalle $I$, alors la composée $x \mapsto e^{u(x)}$ est dérivable sur $I$ et :

$\left(e^{u}\right)' = u' \, e^{u}.$

Comme $e^{u} > 0$, le signe de la dérivée $u'\,e^{u}$ est exactement le signe de $u'$. Étudier les variations de $e^{u}$ revient donc à étudier le signe de $u'$.

Pour dériver $e^{u(x)}$ :

1. Repère l'exposant $u(x)$.
2. Calcule sa dérivée $u'(x)$.
3. Écris la dérivée $u'(x)\,e^{u(x)}$ (on garde l'exponentielle telle quelle, multipliée par $u'$).

Dérivons $f(x) = e^{2x+1}$.

Ici $u(x) = 2x + 1$, donc $u'(x) = 2$.

$f'(x) = u'(x)\,e^{u(x)} = 2\,e^{2x+1}.$

Autre exemple : $g(x) = e^{-x^2}$ avec $u(x) = -x^2$ et $u'(x) = -2x$, donc $g'(x) = -2x\,e^{-x^2}$.

Erreur classique : oublier le facteur $u'$. La dérivée de $e^{3x}$ n'est pas $e^{3x}$ mais bien $3\,e^{3x}$.

Comme $\exp$ est strictement croissante, on résout les (in)équations exponentielles en se ramenant aux exposants :

$e^{A} = e^{B} \iff A = B, \qquad e^{A} \leqslant e^{B} \iff A \leqslant B.$

Une équation du type $e^{x} = k$ admet une solution si et seulement si $k > 0$ (car $e^x > 0$) ; cette solution s'écrit alors $x = \ln k$ (logarithme népérien, voir chapitre suivant). Pour les expressions du type $\left(e^x\right)^2$, on pose souvent $X = e^x$ (avec la contrainte $X > 0$) afin de se ramener à une équation du second degré.

Pour résoudre une équation exponentielle :

1. Mets tout sous la forme $e^{A} = e^{B}$, puis résous $A = B$.
2. Si une puissance $\left(e^x\right)^2$ apparaît, pose $X = e^x$ avec $X > 0$.
3. Résous l'équation en $X$, puis reviens à $x$ en n'oubliant pas de rejeter les valeurs $X \leqslant 0$.

Résolvons $e^{2x} - 3e^{x} + 2 = 0$.

On pose $X = e^{x}$ (avec $X > 0$) ; comme $e^{2x} = (e^x)^2 = X^2$, l'équation devient $X^2 - 3X + 2 = 0$.

Le discriminant vaut $\Delta = 9 - 8 = 1$, d'où $X = \dfrac{3 \pm 1}{2}$, soit $X = 2$ ou $X = 1$. Les deux sont strictement positives, donc :

$e^{x} = 2 \iff x = \ln 2$ et $e^{x} = 1 \iff x = 0.$

Les solutions sont $x = 0$ et $x = \ln 2$.

Après le changement de variable $X = e^x$, n'oublie jamais la condition $X > 0$ : une racine négative ou nulle ne donne aucune solution en $x$.

Les limites de l'exponentielle aux bornes de $\mathbb{R}$ sont :

$\lim_{x \to +\infty} e^{x} = +\infty \qquad \text{et} \qquad \lim_{x \to -\infty} e^{x} = 0^{+}.$

En $-\infty$, la courbe se rapproche de l'axe des abscisses par valeurs positives : la droite d'équation $y = 0$ est une asymptote horizontale.

Pour lever une forme indéterminée du type $0 \times \infty$ ou $\dfrac{\infty}{\infty}$ avec une exponentielle :

1. Repère que $e^x$ « l'emporte » sur toute puissance de $x$.
2. Fais apparaître une croissance comparée connue (section suivante).
3. Conclus à l'aide des règles sur les limites.

Calculons $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \left(e^{x} - x\right)$.

On factorise par $e^x$ : $e^x - x = e^x\left(1 - \dfrac{x}{e^x}\right)$.

Or $\dfrac{x}{e^x} \to 0$ (croissance comparée), donc la parenthèse tend vers $1$, et $e^x \to +\infty$. Par produit :

$\lim_{x \to +\infty} \left(e^{x} - x\right) = +\infty.$

En $-\infty$, l'exponentielle tend vers $0$ mais reste positive : on note $0^{+}$. Elle n'atteint jamais la valeur $0$.

L'exponentielle croît plus vite que n'importe quelle puissance de $x$. Les résultats à connaître sont :

$\lim_{x \to +\infty} \dfrac{e^{x}}{x} = +\infty, \qquad \lim_{x \to +\infty} \dfrac{x}{e^{x}} = 0, \qquad \lim_{x \to -\infty} x\,e^{x} = 0.$

Plus généralement, pour tout entier $n \geqslant 1$ : $\dfrac{e^x}{x^n} \to +\infty$ en $+\infty$. On résume par « l'exponentielle l'emporte ».

⭐ Pour les curieux — pourquoi ça marche ? L'exponentielle écrase $x$ parce qu'elle dépasse même $x^2$. Pose $g(x) = e^x - \dfrac{x^2}{2}$ sur $[0\,;+\infty[$ : alors $g''(x) = e^x - 1 \geqslant 0$, donc $g'(x) = e^x - x$ est croissante, et comme $g'(0) = 1 > 0$ on a $g' > 0$, donc $g$ croît à partir de $g(0) = 1 > 0$. Ainsi $e^x > \dfrac{x^2}{2}$ pour tout $x \geqslant 0$, d'où $\dfrac{e^x}{x} > \dfrac{x}{2}$, qui file vers $+\infty$. L'exponentielle bat $x$ tout simplement parce qu'elle bat déjà $x^2$.

Pour utiliser une croissance comparée :

1. Identifie la forme indéterminée ($\frac{\infty}{\infty}$ ou $0 \times \infty$).
2. Fais apparaître un quotient de référence, par exemple $\dfrac{x}{e^x}$ ou $\dfrac{e^x}{x}$.
3. Remplace ce quotient par sa limite connue, puis conclus.

Calculons $\displaystyle\lim_{x \to -\infty} x\,e^{x}$.

C'est une forme indéterminée $(-\infty) \times 0$. On utilise directement le résultat de référence :

$\lim_{x \to -\infty} x\,e^{x} = 0.$

Intuition : quand $x \to -\infty$, $e^x$ tend vers $0$ bien plus vite que $x$ ne tend vers $-\infty$ ; c'est donc $0$ qui l'emporte.

Moyen mnémotechnique : « en cas de duel exponentielle / puissance, c'est toujours l'exponentielle qui gagne ».

Pour étudier $f(x) = (ax + b)\,e^{x}$ ou un quotient analogue, on combine les outils précédents : on dérive avec $(e^u)' = u'e^u$ ou la règle du produit, on factorise par $e^x > 0$ pour déterminer le signe de $f'$, et on calcule les limites aux bornes grâce aux croissances comparées. On dresse ensuite le tableau de variations.

Pour étudier $f(x) = (x-1)e^x$ :

1. Dérive : $f'(x) = 1 \cdot e^x + (x-1)e^x = x\,e^x$ (règle du produit).
2. Comme $e^x > 0$, le signe de $f'(x)$ est celui de $x$.
3. $f'(x) < 0$ pour $x < 0$ et $f'(x) > 0$ pour $x > 0$ : $f$ admet un minimum en $0$.
4. Calcule les limites aux bornes pour compléter le tableau.

Avec $f(x) = (x - 1)e^x$, on a vu $f'(x) = x\,e^x$.

Le minimum est atteint en $x = 0$ : $f(0) = (0-1)e^0 = -1 \times 1 = -1$.

Limites : en $+\infty$, $f(x) \to +\infty$ (produit de deux facteurs qui tendent vers $+\infty$). En $-\infty$, $f(x) = (x-1)e^x = x e^x - e^x \to 0 - 0 = 0$ (croissance comparée pour $x e^x$, et $e^x \to 0$).

Factorise toujours la dérivée par $e^x$. Comme $e^x > 0$, le signe de $f'$ ne dépend plus que du facteur restant : l'étude de signe devient beaucoup plus simple.