📐Droites et plans dans l'espace

Une droite $d$ de l'espace est définie par un point $A\,(x_A;y_A;z_A)$ et un vecteur directeur $\vec{u}\,(\alpha;\beta;\gamma)$ non nul. Un point $M\,(x;y;z)$ appartient à $d$ si et seulement si $\overrightarrow{AM}=t\,\vec{u}$ pour un réel $t$, ce qui donne la représentation paramétrique :

$\begin{cases}x=x_A+t\,\alpha\\ y=y_A+t\,\beta\\ z=z_A+t\,\gamma\end{cases}\qquad (t\in\mathbb{R}).$

Le réel $t$ est le paramètre : à chaque valeur de $t$ correspond un point de la droite. Les coefficients de $t$ donnent le vecteur directeur ; les termes constants donnent un point ($t=0$ donne $A$).

Pour écrire une représentation paramétrique de $(AB)$ :

1. Prends un point, par exemple $A$.
2. Prends un vecteur directeur, par exemple $\vec{u}=\overrightarrow{AB}$.
3. Écris $x=x_A+t\alpha$, $y=y_A+t\beta$, $z=z_A+t\gamma$ avec $\vec{u}\,(\alpha;\beta;\gamma)$.

Droite passant par $A\,(1;0;2)$ de vecteur directeur $\vec{u}\,(2;-1;3)$ :

$\begin{cases}x=1+2t\\ y=-t\\ z=2+3t\end{cases}\qquad (t\in\mathbb{R}).$

🔎 Pour lire le vecteur directeur, regarde les coefficients de $t$. Pour un point de la droite, prends $t=0$.

Un point $M\,(x_M;y_M;z_M)$ appartient à la droite $d$ de représentation paramétrique donnée si et seulement s'il existe une même valeur de $t$ qui satisfait les trois équations à la fois.

On détermine $t$ avec une coordonnée, puis on vérifie que ce $t$ convient pour les deux autres. Si une seule équation n'est pas vérifiée, le point n'est pas sur la droite.

Pour tester si $M\in d$ :

1. Choisis une coordonnée pour calculer $t$ (par ex. $x_M=x_A+t\alpha$).
2. Reporte ce $t$ dans les deux autres équations.
3. Si tout colle ⇒ $M\in d$ ; sinon ⇒ $M\notin d$.

Droite $\begin{cases}x=1+2t\\ y=-t\\ z=2+3t\end{cases}$, point $M\,(5;-2;8)$.

De $x=5=1+2t$, on tire $t=2$. On vérifie : $y=-2$ ✓ et $z=2+3\times 2=8$ ✓. Donc $M\in d$.

⚠️ Le même $t$ doit marcher pour les trois coordonnées. Ne te contente jamais d'une seule équation vérifiée.

Un vecteur normal à un plan $\mathcal{P}$ est un vecteur $\vec{n}$ non nul orthogonal à tous les vecteurs du plan. Un plan est entièrement déterminé par un point $A$ et un vecteur normal $\vec{n}\,(a;b;c)$.

$M\,(x;y;z)\in\mathcal{P}$ si et seulement si $\overrightarrow{AM}\cdot\vec{n}=0$. En développant, on obtient l'équation cartésienne du plan :

$ax+by+cz+d=0,$

où $(a;b;c)$ sont précisément les coordonnées d'un vecteur normal, et $d$ se calcule en injectant les coordonnées du point $A$. Réciproquement, toute équation $ax+by+cz+d=0$ (avec $(a;b;c)\neq(0;0;0)$) est celle d'un plan de vecteur normal $\vec{n}\,(a;b;c)$.

⭐ Pour les curieux — pourquoi ça marche ? D'où sortent les coefficients $(a;b;c)$ ? Il suffit de développer la condition $\overrightarrow{AM}\cdot\vec{n}=0$ avec $\vec{n}\,(a;b;c)$ et $A\,(x_A;y_A;z_A)$ : $a(x-x_A)+b(y-y_A)+c(z-z_A)=0$. En distribuant, ça devient $ax+by+cz\;\underbrace{-(ax_A+by_A+cz_A)}_{=\,d}=0$. Les coefficients de $x,y,z$ sont donc forcément ceux du vecteur normal, et la constante $d$ n'est rien d'autre que $-(ax_A+by_A+cz_A)$ : on comprend pourquoi on lit $\vec{n}$ directement dans l'équation, et pourquoi $d$ s'obtient en injectant un point.

Pour trouver l'équation cartésienne d'un plan :

1. Identifie un vecteur normal $\vec{n}\,(a;b;c)$ : l'équation commence par $ax+by+cz+d=0$.
2. Injecte les coordonnées d'un point $A$ du plan pour trouver $d$.
3. Conclus avec l'équation complète.

Plan passant par $A\,(1;2;-1)$ de vecteur normal $\vec{n}\,(2;-1;3)$.

Équation de la forme $2x-y+3z+d=0$. En $A$ : $2\times 1-2+3\times(-1)+d=2-2-3+d=-3+d=0$, donc $d=3$.

Équation : $2x-y+3z+3=0.$

💡 Les coefficients $(a;b;c)$ de l'équation sont les coordonnées d'un vecteur normal : tu les lis directement !

Un point $M\,(x_M;y_M;z_M)$ appartient au plan d'équation $ax+by+cz+d=0$ si et seulement si ses coordonnées vérifient cette équation, c'est-à-dire si :

$a\,x_M+b\,y_M+c\,z_M+d=0.$

Il suffit donc de remplacer $x$, $y$, $z$ par les coordonnées de $M$ et de vérifier que le résultat est nul.

Pour tester si $M\in\mathcal{P}$ :

1. Remplace $x,y,z$ par $x_M,y_M,z_M$ dans $ax+by+cz+d$.
2. Calcule la valeur obtenue.
3. Si elle vaut $0$ ⇒ $M\in\mathcal{P}$ ; sinon ⇒ $M\notin\mathcal{P}$.

Plan $2x-y+3z+3=0$ et point $M\,(0;3;0)$.

$2\times 0-3+3\times 0+3=0-3+0+3=0$ ✓. Donc $M$ appartient au plan.

🧠 « Remplacer et tester si ça fait $0$ » : c'est aussi simple que pour une équation de droite dans le plan.

Deux droites de l'espace peuvent être : coplanaires (sécantes en un point, ou strictement parallèles, ou confondues) ou non coplanaires (elles n'ont aucun point commun et ne sont pas parallèles). On compare leurs vecteurs directeurs (colinéaires ⇒ parallèles) puis on cherche un point commun.

Une droite et un plan : si le vecteur directeur $\vec{u}$ de la droite et le vecteur normal $\vec{n}$ du plan vérifient $\vec{u}\cdot\vec{n}=0$, la droite est parallèle au plan (incluse dedans, ou strictement parallèle). Si $\vec{u}\cdot\vec{n}\neq 0$, la droite est sécante au plan en exactement un point.

Deux plans : si leurs vecteurs normaux sont colinéaires, ils sont parallèles ; sinon ils sont sécants selon une droite.

⭐ Pour les curieux — pourquoi ça marche ? Pourquoi $\vec{u}\cdot\vec{n}=0$ signifie « droite parallèle au plan » et non « perpendiculaire » ? Imagine une table (le plan) et un clou planté tout droit dedans (le vecteur normal $\vec{n}$) : il pointe hors de la table. Un vecteur $\vec{u}$ orthogonal à ce clou ne peut pas grimper ni plonger par rapport à la table : il reste à plat. La droite ne traverse donc pas le plan : ou bien elle lui est strictement parallèle, ou bien elle est carrément contenue dedans (pour trancher, on teste si un point de la droite vérifie l'équation du plan). À l'inverse, si $\vec{u}\cdot\vec{n}\neq 0$, c'est que $\vec{u}$ a une part qui « monte » le long du clou : la droite traverse le plan et le coupe en un unique point.

Pour la position d'une droite $d$ et d'un plan $\mathcal{P}$ :

1. Lis $\vec{u}$ (directeur de $d$) et $\vec{n}$ (normal de $\mathcal{P}$).
2. Calcule $\vec{u}\cdot\vec{n}$.
3. Si $\neq 0$ ⇒ sécants (un point d'intersection, obtenu en remplaçant la paramétrisation dans l'équation). Si $=0$ ⇒ parallèles (vérifie avec un point si la droite est incluse).

Droite $\begin{cases}x=1+2t\\ y=-t\\ z=2+3t\end{cases}$ (directeur $\vec{u}\,(2;-1;3)$) et plan $x+y+z-1=0$ (normal $\vec{n}\,(1;1;1)$).

$\vec{u}\cdot\vec{n}=2\times 1+(-1)\times 1+3\times 1=2-1+3=4\neq 0$ : la droite est sécante au plan. On trouve le point en remplaçant : $(1+2t)+(-t)+(2+3t)-1=2+4t=0$, donc $t=-\dfrac{1}{2}$.

🔑 Droite ∥ plan ⇔ vecteur directeur orthogonal au vecteur normal ($\vec{u}\cdot\vec{n}=0$). C'est contre-intuitif mais logique : la droite « glisse » le long du plan.

Quand une droite $d$ est sécante à un plan $\mathcal{P}$ (c'est-à-dire $\vec{u}\cdot\vec{n}\neq 0$), elle le coupe en exactement un point. On le trouve en injectant la représentation paramétrique de $d$ dans l'équation cartésienne de $\mathcal{P}$.

On remplace $x$, $y$, $z$ par leurs expressions en fonction de $t$ ; on obtient une équation du premier degré en $t$, qu'on résout. La valeur $t_0$ trouvée, réinjectée dans la paramétrisation, donne les coordonnées du point d'intersection.

Si l'équation en $t$ n'a aucune solution, la droite est strictement parallèle au plan ; si elle est vérifiée pour tout $t$, la droite est incluse dans le plan.

Pour trouver l'intersection de $d$ et $\mathcal{P}$ :

1. Remplace $x,y,z$ de la paramétrisation dans l'équation $ax+by+cz+d=0$.
2. Résous l'équation du premier degré en $t$.
3. Remplace $t$ par sa valeur dans la paramétrisation pour obtenir le point.

Droite $\begin{cases}x=t\\ y=1+t\\ z=2-t\end{cases}$ et plan $x+y+z-6=0$.

$t+(1+t)+(2-t)-6=t-3=0$, donc $t=3$. Le point d'intersection est $(3;4;-1)$.

🔑 Une seule inconnue ($t$) après substitution : l'équation est du premier degré, donc facile à résoudre. Pense à vérifier d'abord que $\vec{u}\cdot\vec{n}\neq 0$ (sinon pas d'intersection unique).