📦Vecteurs et produit scalaire dans l'espace

Un repère de l'espace est un quadruplet $(O;\vec{i},\vec{j},\vec{k})$ où $O$ est un point et $\vec{i},\vec{j},\vec{k}$ sont trois vecteurs non coplanaires. Tout vecteur $\vec{u}$ s'écrit alors de manière unique :

$\vec{u}=x\,\vec{i}+y\,\vec{j}+z\,\vec{k},$

et on note $\vec{u}\,(x\,;\,y\,;\,z)$. De même, un point $M$ a des coordonnées $M\,(x\,;\,y\,;\,z)$, celles du vecteur $\overrightarrow{OM}$.

Pour deux points $A\,(x_A;y_A;z_A)$ et $B\,(x_B;y_B;z_B)$ : $\overrightarrow{AB}\,(x_B-x_A\,;\,y_B-y_A\,;\,z_B-z_A).$

Les coordonnées s'ajoutent composante par composante, comme dans le plan, avec une troisième coordonnée.

Pour trouver les coordonnées de $\overrightarrow{AB}$ :

1. Repère $A\,(x_A;y_A;z_A)$ et $B\,(x_B;y_B;z_B)$.
2. Calcule « arrivée moins départ » sur chaque coordonnée : $x_B-x_A$, $y_B-y_A$, $z_B-z_A$.

Soit $A\,(1\,;\,2\,;\,3)$ et $B\,(4\,;\,0\,;\,5)$.

$\overrightarrow{AB}\,(4-1\,;\,0-2\,;\,5-3)=(3\,;\,-2\,;\,2).$

🧭 « Arrivée moins départ » : $\overrightarrow{AB}$ part de $A$ et va vers $B$, donc on soustrait les coordonnées de $A$ (le départ).

Deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires s'il existe un réel $k$ tel que $\vec{v}=k\,\vec{u}$ (ou si l'un est nul). Géométriquement, ils ont la même direction (mêmes droites parallèles).

En coordonnées, $\vec{u}\,(x;y;z)$ et $\vec{v}\,(x';y';z')$ sont colinéaires si et seulement si les trois coordonnées sont proportionnelles :

$\dfrac{x'}{x}=\dfrac{y'}{y}=\dfrac{z'}{z}=k$

(quand les dénominateurs ne sont pas nuls). De façon générale, on cherche $k$ tel que $x'=kx$, $y'=ky$, $z'=kz$. Trois points $A$, $B$, $C$ sont alignés si $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ sont colinéaires.

Pour tester la colinéarité de $\vec{u}$ et $\vec{v}$ :

1. Cherche un coefficient $k$ avec une coordonnée non nulle, par exemple $k=\dfrac{x'}{x}$.
2. Vérifie que ce même $k$ marche pour les deux autres coordonnées : $y'=ky$ et $z'=kz$.
3. Si oui ⇒ colinéaires ; sinon ⇒ non colinéaires.

$\vec{u}\,(1\,;\,-2\,;\,3)$ et $\vec{v}\,(2\,;\,-4\,;\,6)$.

On essaie $k=2$ : $2\times 1=2$ ✓, $2\times(-2)=-4$ ✓, $2\times 3=6$ ✓. Donc $\vec{v}=2\vec{u}$ : ils sont colinéaires.

⚠️ Un seul $k$ doit convenir pour les trois coordonnées. Si deux marchent mais pas la troisième, ils ne sont PAS colinéaires.

Trois vecteurs $\vec{u}$, $\vec{v}$, $\vec{w}$ sont coplanaires s'ils admettent des représentants situés dans un même plan. Lorsque $\vec{u}$ et $\vec{v}$ ne sont pas colinéaires, $\vec{w}$ est coplanaire avec eux si et seulement s'il existe deux réels $a$ et $b$ tels que :

$\vec{w}=a\,\vec{u}+b\,\vec{v}.$

On dit que $\vec{w}$ est une combinaison linéaire de $\vec{u}$ et $\vec{v}$. De même, quatre points $A$, $B$, $C$, $D$ sont coplanaires si $\overrightarrow{AD}=a\,\overrightarrow{AB}+b\,\overrightarrow{AC}$ pour certains réels $a,b$ (avec $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AC}$ non colinéaires).

Pour tester si $\vec{w}$ est coplanaire avec $\vec{u}$ et $\vec{v}$ (non colinéaires) :

1. Écris le système $\vec{w}=a\,\vec{u}+b\,\vec{v}$ sur les trois coordonnées.
2. Résous avec deux équations pour trouver $a$ et $b$.
3. Vérifie que la troisième équation est aussi satisfaite. Si oui ⇒ coplanaires.

$\vec{u}\,(1;0;0)$, $\vec{v}\,(0;1;0)$, $\vec{w}\,(2;3;0)$.

On cherche $\vec{w}=a\vec{u}+b\vec{v}$ : $a=2$, $b=3$, et la $3^{e}$ coordonnée donne $0=0$ ✓. Donc $\vec{w}=2\vec{u}+3\vec{v}$ : les trois vecteurs sont coplanaires.

💡 Si $\vec{w}$ a une coordonnée non nulle là où $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont nuls (ici la $3^{e}$), c'est souvent le signe qu'il sort du plan ⇒ non coplanaires.

Dans un repère orthonormé $(O;\vec{i},\vec{j},\vec{k})$, le produit scalaire de $\vec{u}\,(x;y;z)$ et $\vec{v}\,(x';y';z')$ est le nombre réel :

$\vec{u}\cdot\vec{v}=x\,x'+y\,y'+z\,z'.$

On reconnaît la formule du plan, augmentée du terme $zz'$. Comme dans le plan, le produit scalaire est symétrique ($\vec{u}\cdot\vec{v}=\vec{v}\cdot\vec{u}$), bilinéaire, et on a aussi :

$\vec{u}\cdot\vec{v}=\|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|\cos\theta,$

où $\theta$ est l'angle entre $\vec{u}$ et $\vec{v}$. Le résultat est un scalaire (sans flèche).

Pour calculer $\vec{u}\cdot\vec{v}$ dans l'espace :

1. Lis $\vec{u}\,(x;y;z)$ et $\vec{v}\,(x';y';z')$.
2. Calcule les trois produits $xx'$, $yy'$, $zz'$.
3. Additionne ces trois nombres (attention aux signes).

$\vec{u}\,(1\,;\,2\,;\,3)$ et $\vec{v}\,(2\,;\,0\,;\,-1)$.

$\vec{u}\cdot\vec{v}=1\times 2+2\times 0+3\times(-1)=2+0-3=-1.$

(Recalcul : $2+0=2$, puis $2+(-3)=-1$. ✓)

⚠️ N'oublie pas le troisième terme $zz'$ : c'est l'erreur classique du passage plan → espace.

La norme (longueur) d'un vecteur $\vec{u}\,(x;y;z)$ dans un repère orthonormé est :

$\|\vec{u}\|=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}},$

car $\|\vec{u}\|^{2}=\vec{u}\cdot\vec{u}$. La distance entre deux points est $AB=\|\overrightarrow{AB}\|=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2+(z_B-z_A)^2}$.

Orthogonalité. Deux vecteurs non nuls sont orthogonaux si et seulement si :

$\vec{u}\cdot\vec{v}=0.$

Le vecteur nul est orthogonal à tout vecteur.

⭐ Pour les curieux — pourquoi ça marche ? D'où sortent ces trois carrés sous la racine ? On applique simplement Pythagore deux fois. Imagine que $\vec{u}\,(x;y;z)$ est la diagonale d'un pavé droit posé dans le repère : son arête au sol mesure $\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ (Pythagore dans le plan horizontal). Cette diagonale du sol et la hauteur $z$ forment un nouveau triangle rectangle, dont l'hypoténuse est $\vec{u}$ : un second Pythagore donne $\|\vec{u}\|^{2}=\big(\sqrt{x^{2}+y^{2}}\big)^{2}+z^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}$. La formule de l'espace, c'est juste Pythagore qui monte d'un étage !

Pour tester l'orthogonalité de $\vec{u}$ et $\vec{v}$ :

1. Calcule $\vec{u}\cdot\vec{v}=xx'+yy'+zz'$.
2. Si le résultat vaut $0$ ⇒ ils sont orthogonaux ; sinon, non.

Pour une longueur $AB$ : calcule $\overrightarrow{AB}$, puis $\sqrt{x^2+y^2+z^2}$.

$\vec{u}\,(1\,;\,2\,;\,-2)$ et $\vec{v}\,(2\,;\,-1\,;\,0)$.

$\vec{u}\cdot\vec{v}=1\times 2+2\times(-1)+(-2)\times 0=2-2+0=0.$

Donc $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont orthogonaux. Par ailleurs $\|\vec{u}\|=\sqrt{1+4+4}=\sqrt{9}=3$.

🧠 Orthogonal ⇔ produit scalaire nul. C'est le test le plus rapide, bien plus simple que de chercher un angle de $90°$.

Le produit scalaire relie l'angle $\theta$ entre deux vecteurs non nuls $\vec{u}$ et $\vec{v}$ à leurs normes :

$\vec{u}\cdot\vec{v}=\|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|\cos\theta,\qquad\text{d'où}\qquad \cos\theta=\dfrac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{\|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|}.$

Le signe du produit scalaire renseigne directement sur l'angle :

$\bullet$ $\vec{u}\cdot\vec{v}>0$ ⇒ angle aigu ($\cos\theta>0$) ;

$\bullet$ $\vec{u}\cdot\vec{v}=0$ ⇒ angle droit ($\theta=90°$) ;

$\bullet$ $\vec{u}\cdot\vec{v}<0$ ⇒ angle obtus ($\cos\theta<0$).

Comme $-1\le\cos\theta\le 1$, on a toujours $|\vec{u}\cdot\vec{v}|\le\|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|$ (inégalité de Cauchy-Schwarz).

Pour déterminer l'angle entre $\vec{u}$ et $\vec{v}$ :

1. Calcule $\vec{u}\cdot\vec{v}=xx'+yy'+zz'$.
2. Calcule les normes $\|\vec{u}\|$ et $\|\vec{v}\|$.
3. Forme $\cos\theta=\dfrac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{\|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|}$, puis $\theta=\arccos(\dots)$.

$\vec{u}\,(1;0;0)$ et $\vec{v}\,(1;1;0)$.

$\vec{u}\cdot\vec{v}=1$, $\|\vec{u}\|=1$, $\|\vec{v}\|=\sqrt{2}$. Donc $\cos\theta=\dfrac{1}{\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$, soit $\theta=45°$.

💡 Pour savoir si un angle est aigu, droit ou obtus, le signe du produit scalaire suffit : pas besoin de calculer les normes.