📏Orthogonalité et distances dans l'espace

Une droite $d$ est orthogonale à un plan $\mathcal{P}$ lorsqu'elle est orthogonale à toutes les droites du plan. C'est le cas si et seulement si un vecteur directeur de $d$ est un vecteur normal de $\mathcal{P}$ (ils sont colinéaires).

Autrement dit, si le plan a pour équation $ax+by+cz+d=0$ (donc normal $\vec{n}\,(a;b;c)$), la droite orthogonale à $\mathcal{P}$ passant par un point $A$ a pour vecteur directeur $\vec{n}$, d'où la paramétrisation :

$\begin{cases}x=x_A+a\,t\\ y=y_A+b\,t\\ z=z_A+c\,t\end{cases}.$

Pour vérifier qu'une droite de directeur $\vec{u}$ est orthogonale au plan, on vérifie que $\vec{u}$ et $\vec{n}$ sont colinéaires.

Pour écrire la droite orthogonale à $\mathcal{P}$ passant par $A$ :

1. Lis le vecteur normal $\vec{n}\,(a;b;c)$ dans l'équation du plan.
2. Prends $\vec{n}$ comme vecteur directeur de la droite.
3. Écris la représentation paramétrique à partir de $A$.

Plan $2x-y+2z-3=0$, point $A\,(1;0;0)$.

Normal $\vec{n}\,(2;-1;2)$, donc la droite orthogonale passant par $A$ est : $\begin{cases}x=1+2t\\ y=-t\\ z=2t\end{cases}.$

🔑 « Orthogonale au plan » ⇒ vecteur directeur = vecteur normal. À ne pas confondre avec « parallèle au plan », où le directeur est orthogonal au normal.

Le projeté orthogonal $H$ d'un point $M$ sur un plan $\mathcal{P}$ est le point d'intersection de $\mathcal{P}$ avec la droite passant par $M$ et orthogonale à $\mathcal{P}$. C'est le point du plan le plus proche de $M$.

Le vecteur $\overrightarrow{MH}$ est colinéaire au vecteur normal $\vec{n}$, et $H\in\mathcal{P}$. La distance de $M$ au plan est alors $MH=\|\overrightarrow{MH}\|$.

Pour trouver le projeté orthogonal $H$ de $M$ sur $\mathcal{P}$ :

1. Écris la droite passant par $M$ de vecteur directeur $\vec{n}$ (le normal du plan).
2. Cherche le paramètre $t$ tel que le point soit dans le plan (remplace dans l'équation de $\mathcal{P}$).
3. Calcule les coordonnées de $H$ avec ce $t$.

Plan $\mathcal{P}:\ z=0$ (normal $\vec{n}\,(0;0;1)$), point $M\,(2;3;5)$.

Droite par $M$ : $x=2$, $y=3$, $z=5+t$. Dans le plan : $5+t=0$, donc $t=-5$, d'où $H\,(2;3;0)$. La distance est $MH=|5|=5$.

💡 Le projeté orthogonal est toujours le point du plan le plus proche : c'est lui qui réalise la distance minimale.

Soit un plan $\mathcal{P}$ d'équation $ax+by+cz+d=0$ et un point $M\,(x_M;y_M;z_M)$. La distance de $M$ à $\mathcal{P}$ est donnée par la formule :

$\mathrm{dist}(M,\mathcal{P})=\dfrac{|a\,x_M+b\,y_M+c\,z_M+d|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}.$

Au numérateur, on évalue le membre de gauche de l'équation en $M$, en valeur absolue ; au dénominateur, on prend la norme du vecteur normal $\vec{n}\,(a;b;c)$. Cette distance vaut $0$ exactement quand $M\in\mathcal{P}$.

⭐ Pour les curieux — pourquoi ça marche ? Partons de $M$ et avançons en ligne droite vers le plan, dans la direction du vecteur normal $\vec{n}\,(a;b;c)$ : on parcourt les points $M+t\,\vec{n}$. Comme $\vec{n}$ est perpendiculaire au plan, ce chemin est le plus court possible — c'est donc bien lui qui réalise la distance. On atteint le plan quand $a(x_M+ta)+b(y_M+tb)+c(z_M+tc)+d=0$, soit $(ax_M+by_M+cz_M+d)+t\,(a^2+b^2+c^2)=0$, d'où $t=-\dfrac{ax_M+by_M+cz_M+d}{a^2+b^2+c^2}$. La distance est la longueur parcourue, $|t|\times\|\vec{n}\|=|t|\,\sqrt{a^2+b^2+c^2}$ : le facteur $a^2+b^2+c^2$ du dénominateur se simplifie avec la racine, et il reste exactement $\dfrac{|ax_M+by_M+cz_M+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$. La formule n'est donc qu'un aller simple le long de la normale !

Pour calculer $\mathrm{dist}(M,\mathcal{P})$ :

1. Calcule $N=a x_M+b y_M+c z_M+d$ (membre de gauche en $M$).
2. Prends sa valeur absolue $|N|$.
3. Divise par $\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}$.

Plan $2x-y+2z-3=0$ et point $M\,(1;1;1)$.

Numérateur : $|2\times 1-1+2\times 1-3|=|2-1+2-3|=|0|=0$… ici $M$ est sur le plan. Prenons plutôt $M\,(4;1;1)$ : $|2\times 4-1+2\times 1-3|=|8-1+2-3|=|6|=6$, et $\sqrt{2^{2}+(-1)^{2}+2^{2}}=\sqrt{4+1+4}=\sqrt{9}=3$. $\mathrm{dist}=\dfrac{6}{3}=2.$

⚠️ N'oublie ni la valeur absolue au numérateur, ni la racine au dénominateur. Une distance est toujours positive.

Un vecteur $\vec{n}$ est normal à un plan $\mathcal{P}$ s'il est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan : il est alors orthogonal à tout le plan. Cela fournit un moyen pratique de trouver l'équation d'un plan défini par trois points.

Si $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ engendrent le plan (non colinéaires), un vecteur normal $\vec{n}\,(a;b;c)$ vérifie :

$\vec{n}\cdot\overrightarrow{AB}=0\quad\text{et}\quad\vec{n}\cdot\overrightarrow{AC}=0.$

On résout ce système pour trouver $\vec{n}$, puis on obtient l'équation cartésienne en injectant un point.

Pour trouver un vecteur normal au plan $(ABC)$ :

1. Calcule $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$.
2. Cherche $\vec{n}\,(a;b;c)$ tel que $\vec{n}\cdot\overrightarrow{AB}=0$ et $\vec{n}\cdot\overrightarrow{AC}=0$.
3. Choisis une solution non nulle, puis trouve $d$ avec un point.

$A\,(0;0;0)$, $B\,(1;0;0)$, $C\,(0;1;0)$.

$\overrightarrow{AB}\,(1;0;0)$ et $\overrightarrow{AC}\,(0;1;0)$. On cherche $\vec{n}\,(a;b;c)$ : $\vec{n}\cdot\overrightarrow{AB}=a=0$ et $\vec{n}\cdot\overrightarrow{AC}=b=0$. Donc $\vec{n}\,(0;0;1)$ convient, et l'équation est $z=0$.

🧠 Deux conditions d'orthogonalité ⇒ deux équations ⇒ on détermine la direction de $\vec{n}$ (à un facteur près).

Les outils précédents permettent de résoudre des problèmes concrets : distance d'un point à un plan, hauteur d'un tétraèdre, volume d'un solide, etc.

Rappels utiles : la distance de deux points $AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2+(z_B-z_A)^2}$ ; le volume d'un tétraèdre vaut $V=\dfrac{1}{3}\times\mathcal{A}_{\text{base}}\times h$, où $h$ est la distance du sommet au plan de la base (c'est-à-dire la distance point-plan).

La stratégie générale est de traduire le problème en termes de vecteurs, produits scalaires et équations, puis d'appliquer les formules.

Pour calculer une hauteur ou une distance :

1. Détermine l'équation du plan concerné (souvent la base).
2. Identifie le point dont on cherche la distance.
3. Applique la formule $\mathrm{dist}(M,\mathcal{P})=\dfrac{|ax_M+by_M+cz_M+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$.

Distance de $O\,(0;0;0)$ au plan $x+2y+2z-9=0$.

Numérateur : $|0+0+0-9|=9$. Dénominateur : $\sqrt{1^{2}+2^{2}+2^{2}}=\sqrt{1+4+4}=\sqrt{9}=3$. $\mathrm{dist}=\dfrac{9}{3}=3.$

💡 Pour une hauteur de tétraèdre : c'est exactement la distance du sommet opposé au plan de la base. Réutilise la formule point-plan.

Deux plans sont parallèles lorsque leurs vecteurs normaux sont colinéaires. Si on les écrit avec le même vecteur normal, par exemple

$\mathcal{P}_1:\ ax+by+cz+d_1=0\quad\text{et}\quad\mathcal{P}_2:\ ax+by+cz+d_2=0,$

alors la distance entre eux est constante : c'est la distance d'un point quelconque de l'un à l'autre plan. En prenant un point $M\in\mathcal{P}_1$ :

$\mathrm{dist}(\mathcal{P}_1,\mathcal{P}_2)=\dfrac{|d_2-d_1|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}.$

En pratique, on choisit un point facile du premier plan (par exemple l'origine si $d_1=0$) et on applique la formule point-plan avec l'équation du second.

⭐ Pour les curieux — pourquoi ça marche ? Les deux plans partagent le même vecteur normal $\vec{n}\,(a;b;c)$ : pour tout point de $\mathcal{P}_1$ on a $ax+by+cz=-d_1$. En appliquant la formule point-plan à un tel point pour mesurer sa distance à $\mathcal{P}_2$, le numérateur $|ax+by+cz+d_2|$ devient $|-d_1+d_2|=|d_2-d_1|$, identique quel que soit le point choisi sur $\mathcal{P}_1$. La distance vaut donc $\dfrac{|d_2-d_1|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$ : elle est constante et ne dépend que de l'écart $d_2-d_1$ entre les deux « étages » parallèles.

Pour la distance entre deux plans parallèles :

1. Vérifie qu'ils ont le même vecteur normal (ou des normaux colinéaires, à réécrire).
2. Choisis un point $M$ du premier plan.
3. Calcule $\mathrm{dist}(M,\mathcal{P}_2)$ avec la formule point-plan.

Plans $x+2y+2z=0$ et $x+2y+2z-6=0$.

L'origine $O\,(0;0;0)$ est sur le premier. Distance au second : $\dfrac{|0+0+0-6|}{\sqrt{1+4+4}}=\dfrac{6}{3}=2$. Les deux plans sont donc distants de $2$.

⚠️ Les plans doivent avoir le même $(a;b;c)$ pour appliquer $\dfrac{|d_2-d_1|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$. Sinon, réécris d'abord les équations avec un normal commun.