📊Fonction logarithme népérien

Le logarithme népérien, noté $\ln$, est la fonction réciproque de l'exponentielle. Il est défini sur $]0\,;\,+\infty[$ (on ne prend le logarithme que de nombres strictement positifs) et vérifie, pour $x > 0$ et tout réel $y$ :

$\ln x = y \iff x = e^{y}.$

On en déduit les deux relations fondamentales :

$e^{\ln x} = x \;\;(x > 0) \qquad \text{et} \qquad \ln\!\left(e^{x}\right) = x \;\;(x \in \mathbb{R}).$

Valeurs particulières : $\ln 1 = 0$ (car $e^0 = 1$) et $\ln e = 1$ (car $e^1 = e$). La fonction $\ln$ est strictement croissante sur $]0\,;\,+\infty[$.

Pour passer du logarithme à l'exponentielle (et inversement) :

1. Une égalité $\ln x = y$ se réécrit $x = e^y$.
2. Une égalité $e^x = k$ (avec $k > 0$) se réécrit $x = \ln k$.
3. Vérifie toujours la condition d'existence : l'argument du $\ln$ doit être strictement positif.

Résolvons $e^{x} = 5$.

Comme $5 > 0$, on applique $\ln$ : $\ln(e^x) = \ln 5$, c'est-à-dire $x = \ln 5$.

Vérifions une valeur connue : $\ln 1 = 0$ car $e^0 = 1$, et $\ln e = 1$ car $e^1 = e$.

$\ln$ et $\exp$ « s'annulent » mutuellement : $\ln(e^x) = x$ et $e^{\ln x} = x$. C'est l'outil n°1 pour résoudre les équations.

Pour tous réels $a > 0$, $b > 0$ et tout entier $n$ :

$\ln(ab) = \ln a + \ln b, \qquad \ln\!\left(\dfrac{a}{b}\right) = \ln a - \ln b, \qquad \ln\!\left(\dfrac{1}{b}\right) = -\ln b,$

$\ln\!\left(a^{n}\right) = n\,\ln a, \qquad \ln\!\left(\sqrt{a}\right) = \dfrac{1}{2}\,\ln a.$

Le logarithme transforme les produits en sommes : c'est sa propriété fondamentale, historiquement utilisée pour simplifier les calculs.

⭐ Pour les curieux — pourquoi ça marche ? Tout vient de l'exponentielle. Calculons $e^{\ln a + \ln b}$ : grâce à la règle $e^{x+y} = e^x \times e^y$, cela donne $e^{\ln a} \times e^{\ln b} = a \times b$ (car $e^{\ln a} = a$). Donc le nombre dont l'exponentielle vaut $ab$ est exactement $\ln a + \ln b$ : c'est la définition de $\ln(ab)$. Autrement dit, $\ln$ change les produits en sommes parce que $\exp$ change les sommes en produits : ce sont deux faces de la même pièce.

Pour développer un logarithme :

1. Un produit $\ln(ab)$ devient une somme $\ln a + \ln b$.
2. Un quotient $\ln(a/b)$ devient une différence $\ln a - \ln b$.
3. Un exposant $\ln(a^n)$ descend en facteur : $n\,\ln a$.

Exprimons $\ln 12$ en fonction de $\ln 2$ et $\ln 3$.

$12 = 2^2 \times 3$, donc :

$\ln 12 = \ln\!\left(2^2 \times 3\right) = \ln(2^2) + \ln 3 = 2\ln 2 + \ln 3.$

Attention : $\ln(a+b)$ n'a aucune formule simple. Seuls les produits, quotients et puissances se décomposent, jamais les sommes.

La fonction $\ln$ est dérivable sur $]0\,;\,+\infty[$ et :

$(\ln x)' = \dfrac{1}{x}.$

Plus généralement, si $u$ est dérivable et strictement positive sur un intervalle $I$, alors $x \mapsto \ln(u(x))$ est dérivable sur $I$ et :

$\left(\ln u\right)' = \dfrac{u'}{u}.$

⭐ Pour les curieux — pourquoi ça marche ? Partons de l'égalité $e^{\ln x} = x$, vraie pour tout $x > 0$, et dérivons les deux côtés. À droite, la dérivée de $x$ vaut $1$. À gauche, avec la règle $(e^u)' = u'\,e^u$ et $u = \ln x$, on obtient $(\ln x)' \times e^{\ln x} = (\ln x)' \times x$. L'égalité $(\ln x)' \times x = 1$ donne immédiatement $(\ln x)' = \dfrac{1}{x}$. Le $\dfrac{1}{x}$ n'est donc pas tombé du ciel : c'est juste l'effet miroir de la dérivée de l'exponentielle.

Pour dériver $\ln(u(x))$ :

1. Vérifie que $u(x) > 0$ (condition d'existence).
2. Calcule $u'(x)$.
3. Écris la dérivée $\dfrac{u'(x)}{u(x)}$.

Dérivons $f(x) = \ln(2x + 1)$ sur $\left]-\dfrac{1}{2}\,;\,+\infty\right[$.

Ici $u(x) = 2x+1$ et $u'(x) = 2$, donc :

$f'(x) = \dfrac{u'(x)}{u(x)} = \dfrac{2}{2x+1}.$

Autre exemple : $(\ln(x^2+1))' = \dfrac{2x}{x^2+1}$.

$(\ln x)' = \dfrac{1}{x}$ : c'est une primitive de $\dfrac{1}{x}$ que tu retrouveras au chapitre des primitives. Garde-la bien en tête.

Les limites de $\ln$ aux bornes de son domaine sont :

$\lim_{x \to +\infty} \ln x = +\infty \qquad \text{et} \qquad \lim_{x \to 0^{+}} \ln x = -\infty.$

En $0^+$, la courbe « plonge » vers $-\infty$ : l'axe des ordonnées (droite $x = 0$) est une asymptote verticale. Le logarithme croît très lentement : pour atteindre $\ln x = 10$, il faut $x = e^{10} \approx 22\,026$.

Pour étudier une limite avec $\ln$ :

1. Identifie vers quelle borne tend $x$ ($+\infty$ ou $0^+$).
2. Applique la limite de référence correspondante.
3. En cas de forme indéterminée, utilise les croissances comparées (section suivante).

Calculons $\displaystyle\lim_{x \to 0^{+}} \left(\ln x - x\right)$.

Quand $x \to 0^+$ : $\ln x \to -\infty$ et $-x \to 0$. Par somme :

$\lim_{x \to 0^{+}} \left(\ln x - x\right) = -\infty.$

Ne confonds pas : $\ln$ tend vers $-\infty$ en $0^+$, alors que $\exp$ tend vers $0$ en $-\infty$. Les deux courbes sont symétriques par rapport à la droite $y = x$.

Comme $\ln$ est strictement croissante sur $]0\,;\,+\infty[$, on a, pour $a > 0$ et $b > 0$ :

$\ln a = \ln b \iff a = b, \qquad \ln a < \ln b \iff a < b.$

L'équation $\ln x = k$ a pour unique solution $x = e^{k}$. Avant toute résolution, on détermine le domaine (les arguments des $\ln$ doivent être strictement positifs).

Pour résoudre une équation logarithmique :

1. Détermine d'abord le domaine : chaque argument de $\ln$ doit être strictement positif.
2. Rassemble en un seul $\ln$ de chaque côté grâce aux propriétés algébriques.
3. Utilise $\ln A = \ln B \iff A = B$, ou passe à l'exponentielle.
4. Vérifie que les solutions appartiennent bien au domaine.

Résolvons $\ln(x) + \ln(x - 1) = \ln 6$.

Domaine : il faut $x > 0$ et $x - 1 > 0$, donc $x > 1$.

On regroupe : $\ln\!\left(x(x-1)\right) = \ln 6$, d'où $x(x-1) = 6$, soit $x^2 - x - 6 = 0$.

$\Delta = 1 + 24 = 25$, donc $x = \dfrac{1 \pm 5}{2}$ : $x = 3$ ou $x = -2$.

Seul $x = 3$ vérifie $x > 1$. La solution est $x = 3$.

Le domaine d'abord ! On rejette systématiquement les solutions qui rendraient négatif ou nul l'argument d'un logarithme. Ici $x = -2$ est rejeté.

Le logarithme croît plus lentement que toute puissance de $x$. Les résultats de référence sont :

$\lim_{x \to +\infty} \dfrac{\ln x}{x} = 0, \qquad \lim_{x \to 0^{+}} x\,\ln x = 0.$

On retient : « face à une puissance de $x$, le logarithme perd ». La limite $x\ln x \to 0$ en $0^+$ est très utile pour les études de fonctions.

⭐ Pour les curieux — pourquoi ça marche ? Posons $x = e^t$, c'est-à-dire $t = \ln x$ ; quand $x \to +\infty$, on a aussi $t \to +\infty$. Alors $\dfrac{\ln x}{x} = \dfrac{t}{e^t}$, et on sait déjà que $\dfrac{t}{e^t} \to 0$ car l'exponentielle écrase toute puissance. Le logarithme « perd » contre $x$ pour la même raison que l'exponentielle « gagne » : c'est le même résultat vu à l'envers, par le changement de variable $x = e^t$.

Pour lever une indétermination avec $\ln$ :

1. Repère la forme indéterminée ($\frac{\infty}{\infty}$ ou $0 \times \infty$).
2. Fais apparaître $\dfrac{\ln x}{x}$ ou $x\ln x$.
3. Remplace par la limite de référence ($0$) et conclus.

Calculons $\displaystyle\lim_{x \to 0^{+}} x\,\ln x$.

C'est une forme indéterminée $0 \times (-\infty)$. On utilise directement le résultat de référence :

$\lim_{x \to 0^{+}} x\,\ln x = 0.$

Ici $x \to 0$ « gagne » contre $\ln x \to -\infty$.

Symétrie à retenir : l'exponentielle l'emporte sur les puissances, le logarithme perd contre elles. Logique, puisqu'ils sont réciproques l'un de l'autre.