🔢Suites : limites et convergence

Soit $(u_n)$ une suite réelle et $\ell$ un réel. On dit que $(u_n)$ converge vers $\ell$, et on écrit $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n = \ell$, lorsque tout intervalle ouvert contenant $\ell$ contient tous les termes de la suite à partir d'un certain rang.

Autrement dit : aussi petit qu'on choisisse un intervalle $\,]\ell - \varepsilon\,;\,\ell + \varepsilon[\,$ autour de $\ell$, il existe un rang $N$ tel que pour tout $n \geq N$, on a $u_n \in\,]\ell - \varepsilon\,;\,\ell + \varepsilon[$.

Une suite qui converge est dite convergente ; sa limite est alors unique. Exemple fondamental : $\lim\limits_{n \to +\infty} \dfrac{1}{n} = 0$, et plus généralement $\lim\limits_{n \to +\infty} \dfrac{1}{n^k} = 0$ pour tout entier $k \geq 1$.

Pour montrer (ou deviner) qu'une suite converge vers $\ell$ :

1. Calcule plusieurs termes pour conjecturer la valeur de $\ell$.
2. Étudie le comportement de $u_n - \ell$ : il doit se rapprocher de $0$.
3. Le plus souvent, on conclut grâce aux opérations sur les limites ou aux théorèmes de comparaison (sections suivantes).

Soit $u_n = 2 + \dfrac{1}{n}$ pour $n \geq 1$.

Quand $n$ devient très grand, $\dfrac{1}{n}$ devient très proche de $0$, donc $u_n$ devient très proche de $2$. Précisément $u_n - 2 = \dfrac{1}{n} \to 0$.

Donc $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n = 2$ : la suite converge vers $2$.

« Converger » veut dire avoir une limite finie. Une suite qui tend vers $+\infty$ ne converge pas : elle diverge.

On dit que $(u_n)$ tend vers $+\infty$, et on écrit $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n = +\infty$, lorsque tout intervalle $\,]A\,;\,+\infty[\,$ contient tous les termes de la suite à partir d'un certain rang : aussi grand que soit $A$, il existe un rang $N$ tel que $u_n > A$ pour tout $n \geq N$.

De même, $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n = -\infty$ signifie que pour tout réel $A$, on a $u_n < A$ à partir d'un certain rang.

Une suite qui tend vers $+\infty$ ou $-\infty$ est divergente. Attention : une suite peut aussi diverger sans avoir de limite (par exemple $u_n = (-1)^n$, qui oscille entre $-1$ et $1$).

Limites de référence : $\lim\limits_{n \to +\infty} n = +\infty$, $\lim\limits_{n \to +\infty} n^2 = +\infty$ et $\lim\limits_{n \to +\infty} \sqrt{n} = +\infty$.

Pour montrer que $u_n \to +\infty$ :

1. Vérifie que les termes deviennent arbitrairement grands.
2. Souvent, on minore $u_n$ par une suite plus simple qui tend vers $+\infty$ (théorème de comparaison).
3. Conclus.

Soit $u_n = n^2 - 5n$. On factorise : $u_n = n^2\Big(1 - \dfrac{5}{n}\Big)$.

Quand $n \to +\infty$, $\dfrac{5}{n} \to 0$ donc le facteur $1 - \dfrac{5}{n} \to 1$, et $n^2 \to +\infty$.

Par produit, $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n = +\infty$ : la suite diverge vers $+\infty$.

Ne confonds pas « diverger » et « ne pas avoir de limite » : une suite divergente peut très bien avoir pour limite $+\infty$ ou $-\infty$. La suite $(-1)^n$, elle, n'a aucune limite.

On peut combiner des limites comme pour les fonctions, à condition d'éviter les formes indéterminées.

Somme : si $u_n \to \ell$ et $v_n \to \ell'$ (finis ou infinis), alors $u_n + v_n \to \ell + \ell'$, sauf le cas indéterminé $(+\infty) + (-\infty)$.

Produit : $u_n v_n \to \ell \times \ell'$, sauf la forme indéterminée $0 \times \infty$.

Quotient : $\dfrac{u_n}{v_n} \to \dfrac{\ell}{\ell'}$ si $\ell' \neq 0$, avec les formes indéterminées $\dfrac{\infty}{\infty}$ et $\dfrac{0}{0}$.

Les quatre formes indéterminées (notées « FI ») sont :

$\infty - \infty, \qquad 0 \times \infty, \qquad \dfrac{\infty}{\infty}, \qquad \dfrac{0}{0}.$

Face à une FI, il faut transformer l'écriture (factoriser, simplifier) pour lever l'indétermination.

Devant une FI du type quotient de polynômes :

1. Factorise le numérateur et le dénominateur par leur terme de plus haut degré (la plus grande puissance de $n$).
2. Simplifie la fraction.
3. Les termes en $\dfrac{1}{n^k}$ tendent vers $0$ : applique alors les opérations sur les limites.

Soit $u_n = \dfrac{3n^2 + 1}{n^2 + n}$. C'est une FI $\dfrac{\infty}{\infty}$.

On factorise par $n^2$ en haut et en bas :

$u_n = \dfrac{n^2\Big(3 + \dfrac{1}{n^2}\Big)}{n^2\Big(1 + \dfrac{1}{n}\Big)} = \dfrac{3 + \dfrac{1}{n^2}}{1 + \dfrac{1}{n}}.$

Quand $n \to +\infty$ : $\dfrac{1}{n^2} \to 0$ et $\dfrac{1}{n} \to 0$, donc le numérateur $\to 3$ et le dénominateur $\to 1$.

Conclusion : $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n = \dfrac{3}{1} = 3$.

Pour un quotient de polynômes, la limite ne dépend que des termes de plus haut degré : ici $\dfrac{3n^2}{n^2} = 3$. C'est une vérification rapide.

Théorème de comparaison. Soit $(u_n)$ et $(v_n)$ deux suites telles que $u_n \leq v_n$ à partir d'un certain rang.

• Si $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n = +\infty$, alors $\lim\limits_{n \to +\infty} v_n = +\infty$.

• Si $\lim\limits_{n \to +\infty} v_n = -\infty$, alors $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n = -\infty$.

(La grande pousse la moyenne vers le haut ; la petite tire la plus grande vers le bas.)

Théorème des gendarmes. Si $u_n \leq w_n \leq v_n$ à partir d'un certain rang et si $(u_n)$ et $(v_n)$ convergent vers la même limite $\ell$ (finie), alors $(w_n)$ converge aussi et :

$\lim\limits_{n \to +\infty} w_n = \ell.$

⭐ Pour les curieux — pourquoi ça marche ? Imagine $\ell$ pris en sandwich. Fixe un petit intervalle $\,]\ell - \varepsilon\,;\,\ell + \varepsilon[\,$ : puisque $u_n \to \ell$, tous les $u_n$ y entrent à partir d'un rang $N_1$ ; de même tous les $v_n$ y entrent à partir d'un rang $N_2$. À partir du plus grand des deux rangs, $w_n$ est coincé entre $u_n$ et $v_n$, donc lui aussi est piégé dans $\,]\ell - \varepsilon\,;\,\ell + \varepsilon[$. Comme cela vaut pour un $\varepsilon$ aussi petit qu'on veut, $w_n$ ne peut tendre que vers $\ell$. Les deux gendarmes resserrent leur étau : le suspect n'a aucune échappatoire.

Pour appliquer le théorème des gendarmes à $(w_n)$ :

1. Encadre $w_n$ : trouve $u_n \leq w_n \leq v_n$ (souvent grâce à $-1 \leq \cos, \sin \leq 1$).
2. Vérifie que $u_n$ et $v_n$ ont la même limite finie $\ell$.
3. Conclus : $w_n \to \ell$.

Soit $w_n = \dfrac{\sin n}{n}$ pour $n \geq 1$.

Comme $-1 \leq \sin n \leq 1$, on divise par $n > 0$ :

$-\dfrac{1}{n} \leq \dfrac{\sin n}{n} \leq \dfrac{1}{n}.$

Or $-\dfrac{1}{n} \to 0$ et $\dfrac{1}{n} \to 0$. Les deux gendarmes ont la même limite $0$, donc

$\lim\limits_{n \to +\infty} \dfrac{\sin n}{n} = 0.$

Réflexe « gendarmes » dès que tu vois $\cos n$ ou $\sin n$ : tu les encadres par $-1$ et $1$, puis tu coinces la suite entre deux suites qui tendent vers la même limite.

Soit $q$ un réel. Le comportement de la suite $(q^n)$ dépend uniquement de la valeur de $q$ :

• Si $q > 1$ : $\lim\limits_{n \to +\infty} q^n = +\infty$.

• Si $q = 1$ : $q^n = 1$ pour tout $n$, donc $\lim\limits_{n \to +\infty} q^n = 1$.

• Si $-1 < q < 1$ : $\lim\limits_{n \to +\infty} q^n = 0$ (en particulier pour $0 < q < 1$).

• Si $q \leq -1$ : la suite $(q^n)$ n'a pas de limite (elle oscille, par exemple $q = -1$ donne $1, -1, 1, -1,\dots$).

Ce résultat repose sur l'inégalité de Bernoulli : pour $a > 0$, $(1 + a)^n \geq 1 + na$, ce qui prouve que $q^n \to +\infty$ dès que $q > 1$.

⭐ Pour les curieux — pourquoi ça marche ? Pourquoi $q^n \to +\infty$ dès que $q > 1$ ? Écrivons $q = 1 + a$ avec $a > 0$. On peut prouver l'inégalité de Bernoulli $(1+a)^n \geq 1 + na$ par récurrence : c'est vrai au rang $0$, et si $(1+a)^n \geq 1 + na$, alors en multipliant par $1+a > 0$ on obtient $(1+a)^{n+1} \geq (1+na)(1+a) = 1 + (n+1)a + na^2 \geq 1 + (n+1)a$. Donc $q^n \geq 1 + na$, et comme $1 + na \to +\infty$, le théorème de comparaison force $q^n \to +\infty$. Multiplier sans cesse par un nombre $>1$ ajoute au moins $a$ à chaque cran : la suite finit forcément par crever le plafond.

Pour donner la limite d'une suite contenant $q^n$ :

1. Identifie la raison $q$.
2. Compare $q$ à $-1$ et à $1$ pour situer le cas.
3. Applique le résultat ; combine ensuite avec les opérations sur les limites si la suite est plus complexe.

Soit $u_n = \left(\dfrac{1}{2}\right)^n$. Ici $q = \dfrac{1}{2}$ et $-1 < \dfrac{1}{2} < 1$, donc $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n = 0$.

Soit $v_n = 5 \times 3^n$. Ici $q = 3 > 1$ donc $3^n \to +\infty$, et par produit par $5 > 0$ : $\lim\limits_{n \to +\infty} v_n = +\infty$.

Retiens l'image : avec $-1 < q < 1$ on multiplie sans cesse par un nombre de valeur absolue $< 1$, donc on « rétrécit » vers $0$. Avec $q > 1$, on grossit vers $+\infty$.

Une suite $(u_n)$ est :

• majorée s'il existe un réel $M$ tel que $u_n \leq M$ pour tout $n$ ; • minorée s'il existe un réel $m$ tel que $u_n \geq m$ pour tout $n$ ; • bornée si elle est à la fois majorée et minorée.

Théorème de la limite monotone (admis).

• Toute suite croissante et majorée converge (vers une limite finie $\ell \leq M$). • Toute suite décroissante et minorée converge. • Toute suite croissante non majorée tend vers $+\infty$. • Toute suite décroissante non minorée tend vers $-\infty$.

Attention : une suite croissante et majorée converge, mais sa limite n'est pas forcément le majorant $M$.

⭐ Pour les curieux — pourquoi ça marche ? Pourquoi une suite croissante et majorée converge-t-elle forcément ? Imagine une suite qui monte sans jamais redescendre, mais coiffée par un plafond $M$. Elle ne peut pas filer vers $+\infty$ (le plafond l'interdit) et ne peut pas redescendre (elle est croissante) : ses termes, toujours plus hauts mais bornés, se tassent contre une « altitude limite » sans pouvoir la dépasser. Cette altitude est le plus petit des plafonds possibles, et c'est exactement la limite $\ell$ (avec $\ell \leq M$). C'est cette propriété profonde des réels — il n'y a pas de « trou » sous le plafond — qui fait que le résultat est admis et non démontré au lycée.

Pour étudier la convergence par la monotonie :

1. Détermine le sens de variation (signe de $u_{n+1} - u_n$).
2. Cherche une borne adaptée (un majorant si elle est croissante, un minorant si elle est décroissante).
3. Conclus avec le théorème de la limite monotone.

Soit $u_n = 3 - \dfrac{1}{n}$ pour $n \geq 1$.

$u_{n+1} - u_n = \Big(3 - \dfrac{1}{n+1}\Big) - \Big(3 - \dfrac{1}{n}\Big) = \dfrac{1}{n} - \dfrac{1}{n+1} > 0$ : la suite est croissante.

De plus $u_n = 3 - \dfrac{1}{n} < 3$ : elle est majorée par $3$.

Croissante et majorée, elle converge. Ici on voit même directement que $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n = 3$.

Bornée n'implique pas convergente : la suite $(-1)^n$ est bornée (entre $-1$ et $1$) mais ne converge pas. Il faut la monotonie en plus de la borne.