∫Primitives et intégration

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$. Une fonction $F$ dérivable sur $I$ est une primitive de $f$ sur $I$ lorsque :

$F'(x) = f(x) \quad \text{pour tout } x \in I.$

Si $F$ est une primitive de $f$, alors toutes les primitives de $f$ sur $I$ s'écrivent $F(x) + k$, où $k$ est une constante réelle. Deux primitives d'une même fonction diffèrent donc d'une constante. Il existe une unique primitive prenant une valeur imposée en un point donné.

⭐ Pour les curieux — pourquoi ça marche ? Pourquoi deux primitives de $f$ ne diffèrent-elles que d'une constante ? Si $F'=f$ et $G'=f$, alors la fonction écart $G-F$ a pour dérivée $(G-F)' = f-f = 0$. Or, sur un intervalle, une fonction dont la dérivée est nulle partout ne peut pas monter ni descendre : elle est forcément constante. Donc $G-F=k$, c'est-à-dire $G=F+k$. C'est pour ça qu'une seule valeur imposée en un point suffit à fixer $k$, et donc à choisir une unique primitive.

Pour vérifier que $F$ est une primitive de $f$ :

1. Dérive $F$.
2. Vérifie que $F'(x) = f(x)$ sur tout l'intervalle.
3. Pour trouver la primitive valant $y_0$ en $x_0$, écris $F(x)+k$ et résous $F(x_0)+k = y_0$.

Vérifions que $F(x) = \dfrac{x^3}{3}$ est une primitive de $f(x) = x^2$.

On dérive : $F'(x) = \dfrac{3x^2}{3} = x^2 = f(x)$. C'est donc bien une primitive.

Toutes les primitives de $x^2$ sont $\dfrac{x^3}{3} + k$.

Une primitive, c'est « l'inverse » d'une dérivée. Pour vérifier ton calcul de primitive, dérive ton résultat : tu dois retomber sur la fonction de départ.

Voici les primitives à connaître (à une constante $k$ près) :

$f(x) = x^{n} \;(n \neq -1) \;\Rightarrow\; F(x) = \dfrac{x^{n+1}}{n+1}, \qquad f(x) = \dfrac{1}{x} \;(x>0) \;\Rightarrow\; F(x) = \ln x,$

$f(x) = e^{x} \;\Rightarrow\; F(x) = e^{x}, \qquad f(x) = \cos x \;\Rightarrow\; F(x) = \sin x, \qquad f(x) = \sin x \;\Rightarrow\; F(x) = -\cos x.$

Pour les composées : une primitive de $u'e^{u}$ est $e^{u}$, et une primitive de $\dfrac{u'}{u}$ (avec $u > 0$) est $\ln u$.

Pour trouver une primitive de $x^n$ :

1. Augmente l'exposant de $1$ : $n \to n+1$.
2. Divise par le nouvel exposant : $\dfrac{x^{n+1}}{n+1}$.
3. Ajoute la constante $+k$ si on cherche toutes les primitives.

Cherchons une primitive de $f(x) = x^3$.

On augmente l'exposant ($3 \to 4$) et on divise par $4$ :

$F(x) = \dfrac{x^4}{4}.$

Vérification : $F'(x) = \dfrac{4x^3}{4} = x^3 = f(x).$

Cas particulier crucial : la primitive de $\dfrac{1}{x}$ n'est pas une puissance, c'est $\ln x$. La formule $\dfrac{x^{n+1}}{n+1}$ ne marche pas pour $n = -1$ (division par $0$).

Soit $f$ une fonction continue sur $[a\,;\,b]$ et $F$ une primitive de $f$. L'intégrale de $f$ entre $a$ et $b$ est :

$\int_{a}^{b} f(x)\,dx = F(b) - F(a) = \left[F(x)\right]_{a}^{b}.$

Ce nombre ne dépend pas de la primitive choisie (la constante $k$ se simplifie). Si $f \geqslant 0$ sur $[a\,;\,b]$, alors $\int_a^b f(x)\,dx$ est l'aire (en unités d'aire) du domaine compris entre la courbe, l'axe des abscisses et les droites $x = a$ et $x = b$.

⭐ Pour les curieux — pourquoi ça marche ? Pourquoi l'aire se calcule-t-elle avec $F(b)-F(a)$ ? Note $A(x)$ l'aire sous la courbe de $a$ jusqu'à $x$ (avec $f\geqslant 0$). Quand on avance d'un petit pas $h$, on rajoute une fine bande de largeur $h$ et de hauteur quasi $f(x)$, donc $A(x+h)-A(x)\approx h\,f(x)$ : en divisant par $h$, on obtient $A'(x)=f(x)$. L'aire $A$ est donc une primitive de $f$ ! Comme $A(a)=0$, l'aire jusqu'à $b$ vaut $A(b)=A(b)-A(a)=F(b)-F(a)$ pour n'importe quelle primitive $F$ (la constante se simplifie).

Pour calculer $\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx$ :

1. Détermine une primitive $F$ de $f$.
2. Calcule $F(b)$ puis $F(a)$.
3. Fais la différence $F(b) - F(a)$ (toujours « valeur en haut moins valeur en bas »).

Calculons $\displaystyle\int_0^1 2x\,dx$.

Une primitive de $2x$ est $F(x) = x^2$ (car $(x^2)' = 2x$).

$\int_0^1 2x\,dx = \left[x^2\right]_0^1 = 1^2 - 0^2 = 1 - 0 = 1.$

Géométriquement, c'est l'aire d'un triangle de base $1$ et de hauteur $2$ : $\dfrac{1 \times 2}{2} = 1$. Cohérent.

Ordre des bornes : $\int_a^b = -\int_b^a$. Si tu inverses les bornes par erreur, le signe change. La borne du haut correspond toujours à $F(b)$.

Pour $f$, $g$ continues sur $[a\,;\,b]$ et $\lambda$ réel :

Linéarité : $\displaystyle\int_a^b \big(f+g\big) = \int_a^b f + \int_a^b g$ et $\displaystyle\int_a^b \lambda f = \lambda \int_a^b f$.

Relation de Chasles : pour $c \in [a\,;\,b]$, $\displaystyle\int_a^b f = \int_a^c f + \int_c^b f$.

Positivité : si $f \geqslant 0$ sur $[a\,;\,b]$ (avec $a \leqslant b$), alors $\displaystyle\int_a^b f \geqslant 0$. Plus généralement, si $f \leqslant g$, alors $\int_a^b f \leqslant \int_a^b g$ (croissance).

Pour calculer une intégrale d'une somme ou d'un multiple :

1. Sépare l'intégrale terme à terme (linéarité).
2. Sors les constantes multiplicatives devant le signe $\int$.
3. Calcule chaque morceau séparément, puis additionne.

Calculons $\displaystyle\int_0^1 \big(3x^2 + 2x\big)\,dx$.

Par linéarité : $\displaystyle\int_0^1 3x^2\,dx + \int_0^1 2x\,dx$.

Or $\int_0^1 3x^2\,dx = \left[x^3\right]_0^1 = 1$ et $\int_0^1 2x\,dx = \left[x^2\right]_0^1 = 1$.

Total : $1 + 1 = 2.$

La positivité ne marche que si $a \leqslant b$. Avec les bornes dans le bon ordre, une fonction positive donne une intégrale positive : un bon test de cohérence.

Soit $f$ continue sur $[a\,;\,b]$ avec $a < b$. La valeur moyenne de $f$ sur $[a\,;\,b]$ est :

$\mu = \dfrac{1}{b - a}\int_{a}^{b} f(x)\,dx.$

C'est la hauteur du rectangle de base $[a\,;\,b]$ qui aurait la même aire que celle sous la courbe de $f$. Si $f$ représente une grandeur physique (vitesse, température…), $\mu$ en est la moyenne sur l'intervalle.

Pour calculer la valeur moyenne de $f$ sur $[a\,;\,b]$ :

1. Calcule l'intégrale $\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx$.
2. Divise le résultat par la longueur $b - a$ de l'intervalle.
3. Le nombre obtenu est la « hauteur moyenne » de la courbe.

Valeur moyenne de $f(x) = x^2$ sur $[0\,;\,3]$.

$\displaystyle\int_0^3 x^2\,dx = \left[\dfrac{x^3}{3}\right]_0^3 = \dfrac{27}{3} - 0 = 9.$

Puis $\mu = \dfrac{1}{3 - 0} \times 9 = \dfrac{9}{3} = 3.$

La valeur moyenne de $x^2$ sur $[0\,;\,3]$ est donc $3$.

N'oublie jamais le facteur $\dfrac{1}{b-a}$ ! Une valeur moyenne est une intégrale divisée par la longueur de l'intervalle, pas l'intégrale toute seule.

Soient $u$ et $v$ deux fonctions dérivables, à dérivées continues sur $[a\,;\,b]$. La formule d'intégration par parties (IPP) est :

$\int_{a}^{b} u'(x)\,v(x)\,dx = \Big[u(x)\,v(x)\Big]_{a}^{b} - \int_{a}^{b} u(x)\,v'(x)\,dx.$

Elle découle de la dérivée d'un produit $(uv)' = u'v + uv'$. On l'utilise pour intégrer un produit, en particulier $x\,e^{x}$ ou $\ln x$, en choisissant $u'$ et $v$ de façon à simplifier la nouvelle intégrale.

⭐ Pour les curieux — pourquoi ça marche ? La formule n'est qu'une réécriture de la dérivée d'un produit. On part de $(uv)' = u'v + uv'$. On intègre les deux côtés de $a$ à $b$ : à gauche, $uv$ est une primitive de $(uv)'$, donc $\int_a^b (uv)' = \big[uv\big]_a^b$. À droite, par linéarité, $\int_a^b u'v + \int_a^b uv'$. On obtient $\big[uv\big]_a^b = \int_a^b u'v + \int_a^b uv'$, et il suffit de faire passer le dernier terme de l'autre côté pour retrouver l'IPP. Rien de magique : c'est la règle du produit lue à l'envers.

Pour appliquer l'IPP à $\displaystyle\int_a^b u'v\,dx$ :

1. Choisis $v$ (à dériver, pour le simplifier) et $u'$ (à primitiver).
2. Calcule $v'$ et $u$.
3. Applique la formule, puis calcule la nouvelle intégrale $\int u v'$, en principe plus simple.

Calculons $\displaystyle\int_0^1 x\,e^{x}\,dx$.

On pose $v(x) = x$ (donc $v'(x) = 1$) et $u'(x) = e^x$ (donc $u(x) = e^x$).

$\displaystyle\int_0^1 x e^x\,dx = \big[x e^x\big]_0^1 - \int_0^1 1 \cdot e^x\,dx = \big[x e^x\big]_0^1 - \big[e^x\big]_0^1.$

$\big[x e^x\big]_0^1 = 1 \cdot e^1 - 0 \cdot e^0 = e$ et $\big[e^x\big]_0^1 = e - 1$.

Résultat : $e - (e - 1) = 1.$

Bonne habitude : choisis pour $v$ le facteur qui se simplifie en dérivant (par exemple $x$ devient $1$, $\ln x$ devient $\dfrac{1}{x}$). L'autre facteur sera $u'$.