🔢Loi binomiale

Une épreuve de Bernoulli est une expérience aléatoire à deux issues : le succès $S$, de probabilité $p$, et l'échec $\bar{S}$, de probabilité $q = 1 - p$.

Un schéma de Bernoulli de paramètres $n$ et $p$ est la répétition de $n$ épreuves de Bernoulli identiques (même probabilité $p$) et indépendantes (le résultat d'une épreuve n'influe pas sur les autres).

La variable aléatoire $X$ qui compte le nombre de succès au cours de ces $n$ épreuves suit alors la loi binomiale de paramètres $n$ et $p$, notée $X \sim B(n,p)$. Elle prend ses valeurs dans $\{0, 1, 2, \dots, n\}$.

Pour reconnaître un schéma de Bernoulli, vérifie les trois conditions :

1. Chaque épreuve n'a que deux issues (succès / échec).
2. Les épreuves sont identiques (même $p$ à chaque fois).
3. Les épreuves sont indépendantes. Si oui, le nombre de succès $X$ suit $B(n,p)$.

On lance $10$ fois un dé équilibré. « Succès » = obtenir un $6$, donc $p = \dfrac{1}{6}$.

Les $10$ lancers sont identiques (même dé) et indépendants. Le nombre $X$ de $6$ obtenus suit donc $B\!\left(10\,;\,\dfrac{1}{6}\right)$.

Attention : un tirage sans remise dans une urne ne donne PAS un schéma de Bernoulli (les épreuves ne sont plus indépendantes).

Le mot-clé est indépendance. Tirage avec remise → schéma de Bernoulli. Tirage sans remise → ce n'est pas une loi binomiale.

Le coefficient binomial $\binom{n}{k}$ (lu « $k$ parmi $n$ ») est le nombre de façons de choisir $k$ éléments parmi $n$, sans tenir compte de l'ordre. Dans un schéma de Bernoulli, c'est le nombre de chemins de l'arbre comportant exactement $k$ succès.

Propriétés utiles :

$\binom{n}{0} = \binom{n}{n} = 1, \qquad \binom{n}{1} = \binom{n}{n-1} = n,$

$\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k} \quad \text{(symétrie)},$

$\binom{n}{k} + \binom{n}{k+1} = \binom{n+1}{k+1} \quad \text{(relation de Pascal)}.$

La relation de Pascal permet de construire le triangle de Pascal.

Pour calculer $\binom{n}{k}$ :

1. Utilise les valeurs immédiates si $k \in \{0, 1, n-1, n\}$.
2. Sers-toi de la symétrie $\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}$ pour te ramener au plus petit $k$.
3. Sinon, utilise le triangle de Pascal ou la calculatrice (touche $\binom{n}{k}$ ou $nCr$).

Calculons $\binom{5}{2}$ (nombre de façons de placer $2$ succès sur $5$ épreuves).

Ligne $n=5$ du triangle de Pascal : $1\;\;5\;\;10\;\;10\;\;5\;\;1$.

Le terme d'indice $k=2$ vaut $\binom{5}{2} = 10$.

Vérification par symétrie : $\binom{5}{2} = \binom{5}{3} = 10$. ✓

Indices $k$ et $n-k$ donnent le même coefficient : $\binom{5}{2} = \binom{5}{3}$. Utilise toujours le plus petit pour calculer plus vite.

Si $X \sim B(n,p)$, alors pour tout entier $k$ tel que $0 \le k \le n$ :

$P(X = k) = \binom{n}{k}\, p^k\, (1-p)^{\,n-k}.$

Lecture de la formule :

$\bullet$ $\binom{n}{k}$ : nombre de chemins ayant $k$ succès ;

$\bullet$ $p^k$ : probabilité des $k$ succès le long d'un chemin ;

$\bullet$ $(1-p)^{n-k}$ : probabilité des $n-k$ échecs.

La somme de toutes les probabilités vaut $1$ : $\displaystyle\sum_{k=0}^{n} P(X=k) = 1$.

⭐ Pour les curieux — pourquoi ça marche ? Fixons un scénario précis : par exemple succès aux épreuves $1, 3, 4$ et échecs aux autres. Comme les épreuves sont indépendantes, on multiplie les probabilités le long de ce chemin : on rencontre $k$ fois un succès (chacun $p$) et $n-k$ fois un échec (chacun $1-p$), d'où $p^k(1-p)^{n-k}$ pour ce chemin. Or tout chemin ayant exactement $k$ succès donne le même produit (le facteur $p$ apparaît toujours $k$ fois, peu importe où sont placés les succès). Il reste à compter ces chemins : choisir les positions des $k$ succès parmi les $n$ épreuves, c'est $\binom{n}{k}$ façons. On additionne ces chemins de même probabilité, ce qui donne bien $P(X=k)=\binom{n}{k}\,p^k(1-p)^{n-k}$.

Pour calculer $P(X=k)$ avec $X \sim B(n,p)$ :

1. Identifie $n$, $p$ et la valeur de $k$ demandée.
2. Calcule $\binom{n}{k}$.
3. Calcule $p^k$ et $(1-p)^{n-k}$.
4. Multiplie les trois facteurs. À la calculatrice : fonction binomPdf(n, p, k).

Soit $X \sim B(5\,;\,0{,}2)$. Calculons $P(X=2)$.

$\binom{5}{2} = 10$ ; $p^2 = 0{,}2^2 = 0{,}04$ ; $(1-p)^3 = 0{,}8^3 = 0{,}512$.

$P(X=2) = 10 \times 0{,}04 \times 0{,}512 = 10 \times 0{,}02048 = 0{,}2048$.

Donc $P(X=2) = 0{,}2048$.

Vérifie les exposants : ils doivent totaliser $n$ ($k + (n-k) = n$). Si la somme des exposants ne fait pas $n$, c'est une erreur.

On a souvent besoin de probabilités du type $P(X \le k)$ ou $P(X \ge k)$.

$P(X \le k) = \sum_{i=0}^{k} P(X=i), \qquad P(X \ge k) = 1 - P(X \le k-1).$

Quelques égalités très utiles (événement contraire) :

$\bullet$ $P(X \ge 1) = 1 - P(X = 0)$ (« au moins un succès ») ;

$\bullet$ $P(X > k) = 1 - P(X \le k)$ ;

$\bullet$ $P(a \le X \le b) = P(X \le b) - P(X \le a-1)$.

À la calculatrice, la fonction cumulée est binomCdf(n, p, k) qui renvoie $P(X \le k)$.

1. Traduis la phrase en inégalité (« au moins » → $\ge$, « au plus » → $\le$, « moins de » → $<$).
2. Si possible, passe par l'événement contraire (souvent plus court).
3. Utilise binomCdf pour $P(X \le k)$ puis ajuste.

Soit $X \sim B(5\,;\,0{,}2)$. Calculons $P(X \ge 1)$ (« au moins un succès »).

On passe au contraire : $P(X \ge 1) = 1 - P(X = 0)$.

$P(X=0) = \binom{5}{0}\,0{,}2^0\,0{,}8^5 = 1 \times 1 \times 0{,}32768 = 0{,}32768$.

$P(X \ge 1) = 1 - 0{,}32768 = 0{,}67232$.

« Au moins un » se calcule toujours par le contraire : $1 - P(X=0)$. C'est bien plus rapide que d'additionner $P(X=1)+\dots+P(X=n)$.

Si $X \sim B(n,p)$, alors :

$E(X) = np, \qquad V(X) = np(1-p), \qquad \sigma(X) = \sqrt{np(1-p)}.$

$\bullet$ L'espérance $E(X) = np$ est le nombre moyen de succès attendu sur un grand nombre de répétitions de l'expérience.

$\bullet$ La variance $V(X) = np(1-p)$ et l'écart-type $\sigma(X) = \sqrt{V(X)}$ mesurent la dispersion autour de la moyenne.

Ces formules ne sont valables que pour la loi binomiale : il faut donc avoir vérifié qu'on est bien dans un schéma de Bernoulli.

⭐ Pour les curieux — pourquoi ça marche ? Voici pourquoi $E(X)=np$, sans aucun calcul de $\binom{n}{k}$. Notons $X_i$ qui vaut $1$ si la $i$-ème épreuve est un succès, $0$ sinon : alors $X = X_1 + X_2 + \dots + X_n$ (compter les succès, c'est ajouter ces $1$). Chaque $X_i$ a pour espérance $E(X_i) = 1 \times p + 0 \times (1-p) = p$. L'espérance d'une somme étant la somme des espérances, on obtient $E(X) = p + p + \dots + p = np$. Autrement dit, sur $20$ lancers de pièce ($p = 0{,}5$), on attend en moyenne $20 \times 0{,}5 = 10$ piles : limpide.

1. Identifie $n$ et $p$.
2. Espérance : $E(X) = np$.
3. Variance : $V(X) = np(1-p)$.
4. Écart-type : $\sigma(X) = \sqrt{V(X)}$ (si demandé).

Soit $X \sim B(10\,;\,0{,}3)$.

$E(X) = np = 10 \times 0{,}3 = 3$.

$V(X) = np(1-p) = 10 \times 0{,}3 \times 0{,}7 = 3 \times 0{,}7 = 2{,}1$.

$\sigma(X) = \sqrt{2{,}1} \approx 1{,}449$.

En moyenne on attend $3$ succès, avec une dispersion d'environ $1{,}45$ autour de cette valeur.

Retiens : espérance $= np$ (simple produit), variance $= np(1-p)$ (on multiplie en plus par $1-p$). L'écart-type est la racine de la variance, jamais la variance elle-même.

La principale difficulté avec la loi binomiale est de traduire une phrase en inégalité, puis de la calculer.

$\bullet$ « exactement $k$ succès » ⇒ $P(X=k)$.

$\bullet$ « au plus $k$ » ⇒ $P(X\le k)$.

$\bullet$ « au moins $k$ » ⇒ $P(X\ge k)=1-P(X\le k-1)$.

$\bullet$ « moins de $k$ » ⇒ $P(X<k)=P(X\le k-1)$.

$\bullet$ « plus de $k$ » ⇒ $P(X>k)=1-P(X\le k)$.

$\bullet$ « entre $a$ et $b$ » (bornes incluses) ⇒ $P(a\le X\le b)=P(X\le b)-P(X\le a-1)$.

Le cas le plus courant, « au moins un succès », se calcule par le contraire : $P(X\ge 1)=1-P(X=0)$.

1. Repère le mot-clé (« au moins », « au plus », « entre »…).
2. Traduis-le en inégalité sur $X$.
3. Passe à l'événement contraire si c'est plus court.
4. Calcule avec binomCdf ou en sommant les $P(X=i)$.

$X\sim B(10\,;\,0{,}1)$. « Au moins un succès » :

$P(X\ge 1)=1-P(X=0)=1-0{,}9^{10}=1-0{,}34868\approx 0{,}651$.

« Au moins un » = $1-P(X=0)$ : c'est le piège-réflexe à connaître. N'additionne jamais $P(X=1)+\dots+P(X=n)$ pour ça, c'est beaucoup plus long.